Попов В.В., Мазепа Е.А., Безверхов В.А. - Практикум по алгебр
.pdfи обозначают так: x¡1.
Примеры.
1) Множества Q, R è C (соответственно рациональных, дей-
ствительных и комплексных чисел) являются полями относительно обычных операций сложения и умножения.
2) Множество Z целых чисел с обычными сложением и умноже-
нием является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей, но не является полем (поскольку число x¡1 не всегда
является целым при целом x).
3) Множество f00; 10; 20g будет полем, если сложение и умноже-
ние элементов этого множества задать следующими таблицами: |
||||||||||
+ |
00 |
10 |
20 |
¤ |
00 |
10 |
20 |
|
||
|
00 |
00 |
10 |
20 |
|
00 |
00 |
00 |
00 |
|
10 |
10 |
20 |
00 |
10 |
00 |
10 |
20 |
|
||
20 |
20 |
00 |
10 |
20 |
00 |
20 |
10 |
|
||
Z3.Это поле называют полем вычетов по модулю 3 и обозначают 4) Пусть сложение и умножение на множестве f00; 10; 20; 30g çà-
дается |
следующими таблицами: |
¤ |
|
00 |
10 |
20 |
30 |
|||||
+ |
00 |
10 |
20 |
30 |
|
|
||||||
|
00 |
00 |
10 |
20 |
30 |
|
00 |
|
00 |
00 |
00 |
00 |
10 |
10 |
20 |
30 |
00 |
|
10 |
|
00 |
10 |
20 |
30 |
|
20 |
20 |
30 |
00 |
10 |
|
20 |
|
00 |
20 |
00 |
20 |
|
30 |
30 |
00 |
10 |
20 |
|
30 |
|
00 |
30 |
20 |
10 |
|
Тогда это множество будет кольцом (из 4 элементов). Оно называется кольцом вычетом по модулю 4 и обозначается че- рез Z4. Это кольцо не является полем (например, элемент 20 íå имеет обратного).
31
Список литературы
[1]Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975.
[2]Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
[3]Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. - М.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1980.
[4]Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Вузовская книга, 2001.
[5]Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: Наука, 1971.
[6]Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1990.
[7]Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел. - М.: Высш. школа, 1979.
[8]Винберг Э.В., Алгебра многочленов. - М.: Просвещение, 1980.
[9]Беклемишев Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: Наука, 1984.
[10]Сборник задач по алгебре. Под ред. Кострикина А.И. - М.: Наука, 1987.
[11]Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре. М.- С.Петербург, 2001.
[12]Фадеев Д.К., Соминский И.С., Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977.
[13]Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин., Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
32
|
Содержание |
|
Предисловие |
3 |
|
Введение к первой части |
4 |
|
Многочлены |
4 |
|
1 |
Деление с остатком |
6 |
2 |
Схема Горнера |
9 |
3 |
Делимость в кольце многочленов |
11 |
4 |
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида 12 |
|
5 |
Уничтожение иррациональности в знаменателе дро- |
|
|
áè |
15 |
6 |
Корни многочлена. Кратные корни |
18 |
7 |
Разложение многочлена на множители. Неприво- |
21 |
|
димые многочлены |
|
8 |
Основная теорема алгебры |
23 |
9 |
Формулы Виета |
24 |
10 |
Многочлены с действительными коэффициента- |
26 |
|
ìè |
|
11 |
Рациональные корни многочлена |
26 |
12 |
Интерполяционный многочлен Лагранжа |
28 |
Приложение 1. Кольца и поля |
29 |
|
Список литературы |
32 |
|
|
33 |
|
Учебное издание
Попов Владимир Валентинович, доцент кафедры информатики и экспериментальной математики ВолГУ
Мазепа Елена Алексеевна, доцент кафедры теории вероятностей и оптимального управления ВолГУ
Безверхов Вячеслав Александрович, доцент кафедры вычислительной механики ВолГУ
ПРАКТИКУМ ПО АЛГЕБРЕ
Часть 1. МНОГОЧЛЕНЫ и ИХ КОРНИ
Учебно-методическое пособие (для студентов математических специальностей университетов)
Главный редактор А.В. Шестакова Технический редактор В.А. Безверхов Художник Н.Н. Захарова
Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, Волгоград, ул. 2-я Продольная, 30.