Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах
Пусть
задана прямоугольная декартова система
координат. Легко видеть, что для базисных
векторов
,
,
справедливо:
очевидно,
из коллинеарности.
.
Из этого следует, что
.
(см.
рисунок).
Тогда для двух векторов
и
.
Имеем:
Это равенство формально можно переписать в виде
.
Пример.
Вычислить синус угла между векторами
,
.
Имеем:
.
.
.
Так
как модуль векторного произведения
численно равен площади параллелограмма,
построенного на перемножаемых векторах,
то если
,
.
Имеем
.
Если
параллелограмм расположен в плоскости,
то
и
.
Пример.
Даны три
точки
,
и
.
Найти
.
Решение.
,
где
– площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
Имеем:
,
.
.
6о. Смешанное произведение векторов
Пусть
даны три вектора
,
,
.
Определение
1. Смешанным
произведением векторов
называется произведение следующего
вида:
,
т.е. вначале вектора
и
перемножаются векторно, а затем результат
умножается скалярно на вектор
.
В результате получается скалярная величина.
Свойства смешанного произведения.
-
Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая.
Доказательство:
Отложим вектора
,
,
из одной точки. Возможны две ситуации:
a)
Тройка
,
,
– правая; б) Тройка
,
,
– левая.
Пусть
.
Тогда
-
Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.
Пусть
,
,
0.
Пусть
,
,
– компланарны. Тогда
.
Пусть
либо
,
либо
.
В
первом случае это означает, что вектор
векторам
,
,
,
,
– компланарны. Во втором случае –
||
и
– линейно зависимы
,
,
– компланарны.
-
Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е.
.
Доказательство.
Тройки
,
,
и
,
,
ориентированы одинаково, значит знак
смешанного произведения одинаковый.
Модуль так же одинаковый в силу свойства
1.
Обозначение.
Смешанное произведение векторов
,
,
обозначается
.
-
.
Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.
-
,
.
Следует из свойств скалярного произведения.
Вычисление смешанного произведения в прямоугольных координатах.
Пусть
даны три вектора:
,
,
.
Тогда
.
,
т.е. смешанное произведение трех векторов равно определителю, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.
Следствие.
– необходимое и достаточное условие
коллинеарности векторов.
Определение 2. Четыре точки называются коллинеарными, если вектора лежат в одной плоскости.
Видно,
что
,
,
,
– компланарны если вектора
,
,
лежат в одной плоскости. Если
,
,
,
,
то условие компланарности векторов
,
,
имеет вид:
.
Задача.
Вычислить высоту тетраэдра, вершины
которого расположены в точках
,
,
,
.
Решение.
.
Но
.
Двойное векторное произведение.
Определение
1. Двойное
векторное произведение векторов
,
,
это произведение вида
.
Выразим двойное векторное произведение через скалярное.
Пусть
и
.
Тогда, в силу
лежит в плоскости векторов
и
.
Умножим это равенство скалярно на
.
Имеем
.
Пусть
вектор
не перпендикулярен одновременно векторам
и
(в противном случае
в обоих случаях). Тогда
,
такое что
,
.
Тогда
.
Для
того, чтобы найти
,
вычислим левую и правую части в некотором
базисе. Пусть вектор
направлен вдоль вектора
,
лежит в плоскости векторов
и
,
определяется из условия, что
,
,
образуют правую тройку. Тогда
,
,
.
Имеем
,
.
.
.
Отсюда
видно, что
.
Итак, справедлива формула:
.
Пример 1. Доказать тождество Якоби:
.
Имеем
,
,
.
Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.
Пример
2. Вычислить
.
Имеем:
(
)
.