- •§12. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства
- •1О. Направленные отрезки.
- •2О. Размерность линейных пространств геометрических векторов.
- •3О. Проекции вектора на ось
- •Свойства проекции:
- •Свойства скалярного произведения.
- •Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах
- •Свойства смешанного произведения.
2О. Размерность линейных пространств геометрических векторов.
Теорема 3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
Доказательство. Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.
Пусть и – коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть . Тогда если , то , если , то . В обоих случаях и – линейно зависимы.
Пусть и – линейно зависимы, т.е. и . Тогда по Def 10 и – коллинеарны.
Следствие 1. Линейное пространство коллинеарных векторов одномерно и его базисом может служить любой ненулевой вектор.
Следствие 2. Если и – коллинеарны и , то .
Доказательство. . Если . Т.о. и .
Теорема 4. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
Доказательство. Будем предполагать, что никакие два из них не коллинеарны, т.к. иначе доказательство очевидно из §11 (свойство линейно зависимых векторов).
Пусть компланарны. Перенесем их в общую точку O. Проведем через концы вектора c прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм . Векторы и , и – коллинеарны , . Но , , – линейно зависимы.
Пусть , , – линейно зависимы. Тогда , одновременно не равные нулю: . Если, например, , то – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельными и , , лежат в одной плоскости, т.е они компланарны.
Следствие. Линейное пространство компланарных векторов двумерно и его базисом может служить любая пара неколлинеарных.
Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. Предположим, что никакие три не компланарны, иначе очевидно. Остальное следует из чертежа по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точку D проведем 3 плоскости, параллельные парам векторов , ; , ; , .
, . , , , – линейно зависимы.
Следствие. Линейное пространство всех геометрических векторов трехмерное. Его базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.
3О. Проекции вектора на ось
Пусть в пространстве задана некоторая прямая и единичный вектор .
Определение 1. Осью будем называть прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).
Пусть – точка непринадлежащая . Проведем через точку плоскость . Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось . Обозначение: .
Если наряду с точкой взять точку , то можно построить .
Определение 2. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на ось . Обозначают: .
Иногда говорят, что есть компонента вектора на оси .
Вектора и – коллинеарны .
Определени 3. Такое число называется скалярной проекцией (проекцией) вектора на ось . Пишут: .
Таким образом .
Легко видеть, что , если .
Свойства проекции:
-
Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:
.
Действительно, пусть .
Если (см. рис. 1), то , поэтому
.
Если (см. рис. 2), то , и
.
-
При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число:
.
Действительно, если , то и .
Если , то
-
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:
.
Действительно, это очевидно из следующих чертежей:
Следствие. Свойство (3) справедливо для количества векторов.
4о. Скалярное произведение векторов.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Т.о., если , – вектора, то скалярное произведение обозначается, и .