- •§12. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства
- •1О. Направленные отрезки.
- •2О. Размерность линейных пространств геометрических векторов.
- •3О. Проекции вектора на ось
- •Свойства проекции:
- •Свойства скалярного произведения.
- •Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах
- •Свойства смешанного произведения.
Свойства скалярного произведения.
1) Коммутативность: .
Действительно, (т.к. , т.е. четная функция, то ) .
2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной на проекцию другого на направление первого.
Действительно, .
Отсюда видно, что если , то .
Следовательно, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на направляющий вектор оси.
3) .
Действительно,
.
4) .
Действительно, .
5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Пусть .
Пусть , т.к. , .
6) Пусть , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора .
Тогда
Вычисление скалярного произведения в прямоугольных координатах.
Пусть , .
(, ).
В прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Некоторые метрические формулы.
1)
2) , .
-
Если , то , , .
Т.о., прямоугольные координаты вектора есть его ортогональные проекции на оси прямоугольной системы координат.
4) Пусть , .
Таким образом, .
Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы , , , которые вектор образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.
Имеем:
, , .
, , называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением
.
Следовательно, вектор есть координаты вектора , т.е. вектора и .
.
5о. Векторное произведение векторов
Пусть даны два неколлинеарных и не нулевых вектора и .
Определение 1. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий свойствам:
-
.
-
и .
-
тройка векторов , , – правая.
Если один из векторов нулевой, или вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.
Построение вектора векторного произведения.
Пусть необходимо построить вектор . Для этого выберем в пространстве точку и отложим из нее вектора и .
-
Через точку проведем плоскость .
-
Спроецируем на П точку . Получим вектор .
-
Далее повернем вектор по часовой стрелке на угол /2 (если смотреть из конца вектора ) и получим вектор .
-
Умножив его на длину, получим , который равен .
Докажем это:
-
.
-
Очевидно, что и .
-
Легко видеть, что тройка , , – правая.
Свойства векторного произведения.
-
Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю вектора–сомножители коллинеарны.
Доказательство:
Пусть и т.к. , , т.е. ||.
Пусть ||, тогда .
-
Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.
Доказательство:
Пусть и . На отрезках [OA] и [OB] построим параллелограмм.
.
-
Векторное произведение антикоммутативно, т.е. .
Доказательство:
Легко видеть, что , т.к. вектора , , образуют правую тройку, то тройка , , – левая т.е. вектора и – противоположно направлены. Следовательно, .
-
.
Докажем первое равенство.
-
В начале покажем равенство модулей.
т.к. , то .
.
-
Так как ||, то .
-
Покажем, что . Рассмотрим случай и .
Отсюда вытекает доказываемое свойство.
-
– дистрибутивность.
Если один из векторов нулевой – очевидно. Пусть , , – не нулевые. Для доказательства воспользуемся описанным ранее методом построения векторного произведения.
Выберем произвольную точку и отложим из нее вектора и . Из конца вектора построим вектор . Т.о., , , , .
-
Построим плоскость П.
-
Спроецируем на плоскость П: получим .
-
Повернем по часовой стрелке на угол .
-
Умножим отрезки сторон на , получим треугольник подобный .
По построению, , , т.к. ), то .