amo_lection_6

n

n

m j

Ln x Ln x0

mh 1 n i

i j

yi .

i!(n i)!

i 0

многочлены wn 1 x и его

Для получения формулы

(15) запишем

w

x

x x

x x

...

n 1

i

i

0

i

1

... xi xi 1 xi

xi 1 ... xi

xn

hn 1i

i

i 2

n i

1

...1

1

2

...

hn 1

1 n i i! n i

! w

i

hn 1v

i

n 1

n 1

Подставим значения полиномов

wn 1 x

и wn 1(x) в формулу упрощенного

лагранжева коэффициента для неравноотстоящих узлов:

wn 1 x

.

x x

w

x

i

n 1

i

w

x

w

m

hn 1v

m

Поскольку

n 1

n 1

n 1

и

x x

m i

m i

i

n i

h

n 1

1

i! n i ! h

n 1

m

wn 1 x wn 1 m

vn 1

Тогда лагранжевый коэффициент примет вид

wn 1 m

hn 1vn 1 m

m i

w

m

h

n 1

m

n 1

i vn 1 m

1 n i vn 1 m

1

vn 1 m

1 n i Cni

m i

, i 0,1,2,...,n,

m i

i! n i

!

n!

где, Cni

n!

– сочетание из n по i .

i! n i !

Все

сочетания

из

множества

a,b,c,d,e

по

два

–

ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de

Отсюда формула полинома Лагранжа

n

i

1

Ln x Ln x0 mh

vn 1 m

1 n i

Cn

yi

m i

n!

i 0

Рассмотрим пример применения многочлена Лагранжа для

равноотстоящих значений аргумента x .

Пример 4. Для функции

f x ex , заданной таблично, вычислить с

помощью многочлена Лагранжа для равноотстоящих узлов значение

функции в заданной точке x 0,022.

i

0

1

2

3

4

xi

0,0

0,01

0,02

0,03

0,04

f xi

1,0000

1,0101

1,0202

1,0305

1,0408

Решение.

Этап 1. Найдем значение m , соответствующее

x =0,022. Узлы равноотстоящие с шагом h = 0.01. Сделаем линейную

замену x x0

mh ,

x

x

0,022 0

тогда x будет соответствовать значение m

0

2,2.

h

0,01

Этап 2. Используем многочлен Лагранжа

1

n

i

Ln x Ln x0 mh

vn 1 m

1 n i

Cn

yi

n!

i 0

m i

при найденном значении m :

4

C4i

1

4 i

L4

2,2

v5 2,2

1

yi ,

4!

2,2

i

i 0

Подставим в формулу выражение для количества сочетаний C4i

4

4 i

yi

L4 2,2 v5 2,2 1

2,2 i i! n i !

i 0

f x Ln x

n 1

Cn 1

Rn

h

Mn ,

(18)

n 1 !

где Mn max

vn 1 m

max

m m 1 m 2 ... m n

на отрезке a,b .

в точках xi , i 0,1,...,n , т. е. известны

yi f xi .

Эта информация

эквивалентна тому, что известны значения

xi g yi –

обратной функции.

динамической

характеристикой

y x .

Задачу решить

методом

обратного интерполирования.

-0.9

-0.3

0.3

0.9

y x

0.31623

0.83666

1.14017

1.37840

Решение.

Строим многочлен Лагранжа третьего порядка

L3 y

y y1

y y2 y y3

y y0

y y2 y y3

x0

x1

y0 y1 y0 y 2 y0 y 3

y1 y 0 y1 y 2 y1 y 3

y y0 y y1 y y3

y y0

y y1 y y2

x2

x3.

y2 y 0 y2 y1 y2 y 3

y3 y 0 y3 y1 y3 y 2

Подставляя табличные значения, получаем

L y 0.00638y3 1.01572y2 0.01232y 0.9976 .

3

Таким образом, форма входного сигнала

x y 0.9976 0.1232y 1.01572y2

0.00638y3