ТЕМА 6. Тертя в мех
..pdf2.У шарі мастила за умови відносного ковзання змащених поверхонь повинен виникати та підтримуватись внутрішній тиск, який зрівноважить зовнішнє навантаження, притискаючи поверхні, що ковзають, одну до одної.
3.Мастильна рідина повинна повністю розділяти поверхні, що ковзають.
4.Шар рідини, який знаходиться між поверхнями, що ковзають, повинен мати товщину, не меншу за мінімальну межу, яка визначається найбільш виступаючими частинами нерівностей поверхонь, що труться.
Розрахунок кінематичних пар за умови рідинного тертя
детально викладається |
в курсі деталей |
машин, |
а також |
у спеціальних курсах під |
час викладання |
питань |
розрахунку |
та конструювання підшипників і напрямних. |
|
|
|
6.5. Тертя кочення
Розглянемо питання по те, як визначається момент тертя кочення Mт. Усі дані з цього питання, в основному, експериментального характеру, отримані для конкретних об'єктів: котків, коліс, роликів, кульок у підшипниках тощо.
Досвід підказує, що опір коченню залежить від пружних властивостей матеріалів контактуючих тіл, кривизни поверхонь, що дотикаються, та притискаючої сили. Робота витрачається на деформацію поверхонь дотику.
Розглянемо циліндр, що котиться, та сили, що діють на нього
(рис. 6.18). |
|
силою F , |
|
Якщо |
циліндр, навантажений |
нерухомий |
|
(рис. 6.18, а), |
то в зоні дотику циліндра |
А і площини |
В виникає |
місцева деформація (її називають “пляма деформації”), і в точці С виникає опорна реакція F/ (рівнодіюча напружень деформації), яка зрівноважує зовнішню силу F .
Якщо циліндр перекочується, то “пляма деформації” зсувається в бік руху (рис. 6.18, б).
Рівнодіюча F/ напружень зміщується праворуч від точки С на величину k .
Величина k називається плечем сили тертя кочення.
При коченні необхідно переборювати деякий момент Mт, який називається моментом тертя кочення, і який визначається:
Mт F k. |
(6.56) |
103
а. б.
Рис. 6.18. Тертя кочення:
а. – епюра напружень контактного тиску та опорна реакція за нерухомого циліндра; б. – розподіл сил, що діють на циліндр, який котиться
Тут коефіцієнтом пропорційності є плече моменту тертя кочення k , який називається також коефіцієнтом тертя кочення.
Із виразу (6.56) для моменту Mт випливає, що коефіцієнт тертя кочення має розмірність довжини (м).
Нехай за дії зовнішньої сили F// , яка прикладена в точці О, циліндр А рівномірно перекочується без ковзання по площині В
(рис. 6.18, б).
Рівномірне перекочування циліндра відбувається під дією пари сил F// і F0, де F0 - сила тертя ковзання, яка прикладена в точці С і дорівнює за величиною F// . Сила F0 є силою тертя спокою, яка визначається за формулою:
F0 F fсп , |
(6.57) |
де fсп - коефіцієнт тертя спокою або, як його називають у таких випадках, коефіцієнт зчеплення циліндра з площиною.
104
Пара сил, під дією якої циліндр А перекочується по площині, має момент:
M F// r , |
(6.58) |
де r - радіус циліндра.
За умови рівномірного кочення циліндра цей момент M дорівнює за модулем моменту опору кочення, тобто моменту тертя кочення:
F// r Mт F k, |
(6.59) |
звідки:
F// k |
F |
. |
(6.60) |
|
|||
|
r |
|
|
Із рівняння (6.60) маємо, що сила F// прямо пропорційна коефіцієнту тертя кочення та обернено пропорційна радіусу циліндра. Коефіцієнт тертя кочення зазвичай приймають в міліметрах чи сантиметрах.
Таблиці цих коефіцієнтів наводять в інженерних довідниках. Розглянемо, за яких умов під дією сили F// циліндр може
перекочуватись, а за яких ковзати, тобто за яких умов спостерігається тертя кочення, а за яких – тертя ковзання.
Нехай циліндр А переміщується рівномірно по площині В під
дією сили F// , прикладеної в точці |
О і паралельної площині В. |
Якщо нормальний тиск в точці С |
дорівнює F0, то опір тертя |
ковзання становить: |
|
F0 fсп F . |
(6.61) |
Отже, щоб циліндр рівномірно ковзав по площині, необхідно, щоб сила F// дорівнювала:
F// fсп F . |
(6.62) |
Умова рівномірного кочення визначається рівністю:
F// r k F. |
(6.63) |
105
Для того, щоб циліндр тільки ковзав по площині, умова (6.61) є необхідною, але не достатньою. Слід виконати ще умови:
F// r k F , |
(6.64) |
звідки:
F fсп r k F |
(6.65) |
або
fсп |
|
k |
. |
(6.66) |
|
||||
|
|
r |
|
|
Отже, щоб було чисте ковзання, необхідно, щоб коефіцієнт
зчеплення fсп |
був меншим від відношення |
k |
. |
|
|||
|
|
r |
|
Для того, щоб циліндр лише перекочувався по площині, необхідно крім умови (6.62), яка є необхідною, але не достатньою, задовольнити ще умову:
|
|
F// fсп F , |
|
|
|
|
(6.67) |
||
звідки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fсп |
k |
. |
|
|
|
|
(6.68) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
Отже, щоб було чисте кочення, необхідно, щоб коефіцієнт |
|||||||||
зчеплення fсп |
був більшим від відношення |
k |
. |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
F// прикладена |
|
r |
точці О |
|
|||
Якщо |
сила |
не в |
циліндра |
||||||
(рис. 6.18, б), |
а в |
якій-небудь іншій |
точці, |
наприклад, |
О1 , яка |
||||
знаходиться на заданій відстані l від площини, необхідно в усіх виведених співвідношеннях величину r замінити на l.
6.6. Тертя в передачах з гнучкими ланками
Широке застосування в деяких галузях техніки мають механізми з гнучкими ланками у вигляді пасів, канатів, стрічок тощо.
Формула, яка пов'язує основні параметри передачі гнучкою ланкою, була виведена в 1765 р. Леонардом Ейлером.
Нехай гнучка ланка охоплює круглий шків (рис. 6.19).
106
Рис. 6.19. До питання тертя в передачах з гнучкими ланками:
а. – схема сил; б. – план сил
Та гілка гнучкої ланки, яка, рухаючись, набігає на шків, називається гілкою, що набігає, а та, яка збігає зі шківа, називається
гілкою, що збігає.
Дуга, на якій гнучка ланка дотикається до шківа, називається дугою обхвату, а центральний кут, що їй відповідає, - кутом обхвату .
Нехай натяг гілки, що набігає, - F1, а гілки, що збігає, - F2 .
Знайдемо зв'язок між цими натягами. При розгляді цього питання приймаємо такі спрощення:
гнучка ланка вважається такою, що не розтягується та не виявляє опору згину при набіганні та збіганні;
рух гнучкої ланки відбувається зі сталою швидкістю v;
масою гнучкої ланки та її відцентровою силою нехтуємо.
107
Щоб надати гнучкій ланці рівномірного руху, необхідно перебороти силу тертя Fт. Тоді натяг F2 повинен бути більшим
за натяг F1 на величину Fт:
F2 F1 Fт. |
(6.69) |
|
Звідки: |
|
|
Fт F2 |
F1. |
(6.70) |
Розглянемо нескінченно малий елемент дуги обхвату d , якому відповідає кут обхвату d (рис. 6.19, а). Нехай натяг гнучкої
ланки на початку цього елемента - |
F , тоді натяг у кінці елемента - |
||||||||||||
F dF . |
Лінії |
дії |
сил |
F |
і |
(F dF ) |
дотичні |
до |
шківа |
||||
та перпендикулярні до радіусів, |
|
проведених |
з точки |
О |
в |
точки |
|||||||
дотику. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Елементарна сила тертя dFт відповідно до виразу (6.70) |
|||||||||||||
становить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dFт F dF F dF . |
|
|
|
(6.71) |
|||||||
З іншого боку, елементарна сила тертя dFт дорівнює: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
dFт f dP, |
|
|
|
|
|
(6.72) |
||||
де dP - елементарна сила тиску елемента d на шків; |
|
|
|
||||||||||
f - коефіцієнт тертя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Із виразів (6.71) і (6.72) маємо: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dF f dP. |
|
|
|
|
|
(6.73) |
||||
Сила dP може бути визначена, якщо скласти за правилом |
|||||||||||||
паралелограма сили |
F і |
F dF . |
Із точністю до другого порядку |
||||||||||
малості |
можемо |
паралелограм |
|
замінити ромбом (рис. |
6.19, б) |
||||||||
зі сторонами F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP 2F sin |
d |
2F |
d |
F d . |
|
|
|
(6.74) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
108
Підставивши отримане значення для сили dF , отримуємо:
dF f F d ,
звідки:
dP у рівняння для
(6.75)
dF |
f |
d . |
(6.76) |
|
|||
F |
|
|
|
Проінтегруємо ліву і праву частини цього рівняння:
|
F2dF |
|
|
|
|
|
||||
|
F |
|
|
0 |
f d , |
(6.77) |
||||
|
|
F |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
F2 |
f . |
(6.78) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
Остаточно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
F |
e f |
- формула Ейлера, |
(6.79) |
||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де - повний кут обхвату (рис. 6.19, а). |
|
F2 |
||||||||
Із формули Ейлера випливає, що |
сила натягу |
|||||||||
збільшується із збільшенням кута обхвату і коефіцієнта тертя |
f . |
|||||||||
За умови сталого |
коефіцієнта тертя f |
збільшення |
кута |
|||||||
обхвату дає значне збільшення сили F2 . |
|
|
||||||||
Підставимо значення F2 |
у формулу для Fт і отримуємо: |
|
||||||||
|
F |
F |
e f 1 . |
(6.80) |
||||||
|
т |
1 |
|
|
|
|
|
|||
Сила Fт є та найбільша сила, яка може бути передана шківу.
Якщо коловий опір на веденому шківу дорівнює або менший від сили Fт, то гнучка ланка змусить шків обертатися.
Якщо коловий опір більший від сили Fт, то гнучка ланка буде ковзати по шківу, не обертаючи його.
109
Отже, натягнута зусиллями F1 і |
F2 гнучка ланка при F2 F1 |
може передавати веденому шківу |
обертовий момент M , |
що дорівнює: |
|
M F |
F |
R F |
R e f 1 , |
(6.81) |
2 |
1 |
1 |
|
|
де R - радіус шківа.
Контрольні питання до теми 6
1.Види тертя.
2.Основні закони тертя ковзання незмащених тіл.
3.Тертя спокою. Тертя руху.
4.Сучасні положення про сили сухого тертя.
5.Тертя в поступальній кінематичній парі. Умови руху повзуна.
6.Геометрична форма зображення взаємодії сил.
7.Тертя в гвинтовій кінематичній парі.
8. Тертя в обертальній кінематичній парі. Тертя шипа
о підшипник.
9.Тертя п'яти о підп'ятник.
10.Тертя ковзання змащених тіл. Закони Петрова.
11.Тертя кочення.
12.Тертя в передачах із гнучкими ланками. Формула Ейлера.
110