6. Теорема Ейлера про рух твердого тіла, яке має нерухому точку. Кути Ейлера. Кутова швидкість тіла.
Теорема: Будь який рух тіла що має нерухому точку можна здійснити шляхом 3-ох поворотів навколо трьох перетинаючи осей
|
№ |
Назва кута |
кут |
Кут швид |
вісь |
|
|
1 |
прецесії |
Ψ |
|
Oξ |
|
|
2 |
нутації |
Ө |
|
O |
|
|
3 |
Власного обертання |
φ |
|
O |
|
=Ψ´
=Ө
Ψ,Ө,ϕ –Кути Ейлера
ϖ
=
+
+
=
+
,
єO
=
+
+2
ω
=
+
,
┴
O
=
=
(22.2)
D-тіло
з нерухомою точкою О жорстко зв’язано
з тілом СК
вважаемо що в початковый момент часу
осі
збігається
з нерухомою
7. Розподіл швидкостей та прискорень точок тіла при сферичному русі
ϖ
{
;
;
}
={
;
;
}
=ϖ
=
=[
]
(23.8)
(23.9)
Знайдемо
=
;
=
=
(23.10)
=E*OM*sin(
,
)
(23.11)
=
=
(
)
(23.12)
=
+
(23.12)
8.Регулярна прецесія. Кутове прискорення тіла у випадку регулярноi прецесii.
Регулярна прецесія – рух тіла яке має нерухому точку при якому кут прецесії та кут власного обертання є лінійними функціями часу, а кут нутації сталий
9. Способи визначення напрямних косинусів між осями систем координат
Матриці напрямних косинусів-це матриця елементи якої є косинусами кутів між відповідними координат
Ця матриця дозволяє визначати координати будь якої точки чи вектора , що були задані в одній системі координат через координати іншої.
Елементи цієї матриці можна отримати за матрицями переходу від сталої СК до нової СК, та за формулами сферичної тригонометрії.
Д – лінійний кут
10)Додавання обертальних рухів тіла навколо перетин них осей:
Теорема: сукупність двох обертальних рухів тіла навколо перетин них осей є миттєвий обертальний рух навколо осі,яка визначається діагоналлю паралелограма побудованого на векторах кутових швидкостей рухів.
Доведення: М – складний рух(дві складові). Нехай рух M з D навколо Oz – відносний . Рух осі Oz навколо
O
-
переносний. Тоді:
(формула
1)
«Зупинемо»
переносний рух (
)
Тоді отримаємо:
(формула
2)
«Зупинемо»
відносний рух(
)
Тоді отримаємо:
(формула
3)
(формула
3),(формула2)
(форумла
1)
Отримаємо:
(формула
4)
Оскільки
початок у точці О , то звідси слідує,що
,
а також що
.Оскільки
змінює свій напрям у просторі, руліD
буде обертальним рухом навколо
осі(доведено)
11)Пара обертань:
Парою обертань називається сукупність двох обертальних рухів навколо паралельних осей з рівними за величиною та протилежними напрямними кутовими швидкостями.
тіло D
здійснює
пару обертань.
Теорема :тіло яке приймає участь у парі обертань здійснює миттєвий поступальний рух
Доведення:
D-
в
системі координат Oxyz,
система координат Oxyz
в
СК А
,
.
М
належить D
,
.
М-
складний рух точки відносно СК Oxyz
,та рух переносний разом з D
відносно
А
.
Тоді:
(формула 1)
«Зупинемо»
переносний рух (
):
(формула 2)
«Зупинемо»
відносний рух (
):
(формула 3)
(формула
2),(формула 3)
(формула 1)
- момент
сили
З
формули
,
-момент
пари обертань
М-
довільна
D
– миттєвий поступальний рух (прискорення
точок не рівні)
12.Додавання обертальних рухів тіла навколо паралельних осей
А
h
нерухома
с.к.
А
h
обертається
з
1
у с.к. А
h
Тіло
D
обертається
з
2
у
с.к. Oxyz
1‖
2
не
утворює пару обертань
M-cкладний
рух
VM=VE+V2
«Зупиняємо»
переносний рух (
1=0)
VM=VE=
2=r2
«Зупиняємо»
відносний рух (
2=0)
O,A-в
одній
площині(A
h)
S-переріз
тіла
Д.
S-виконує
ППР
МЦШ
фігури
S
K
Д,K
S;
!
=
Положення
Або
Подаємо:
VM=
1*
+
1*
+
2*
+
2*
…
VM=
1*
+
2*
=
*(
1+
2)
1+
2=
VM=
*
М-довільна-тіло
здійснює обертальний рух зі швидкістю
.
-збігається
з миттєвою віссю, проходить через М(к).
Теорема.
Сукупність
двох обертальних рухів тіла навколо
паралельних осей,які не утворюють пару
обертань є обертовий рух навколо (
)
яка ділить відстань між осями складних
рухів обернено пропорційно до величин
кутових швидкостей внутрішнім чином,якщо
вони співнапрямлені та зовнішнім ,якщо
протилежно напрямлені.
Кутова швидкість дорівнює векторній сумі кутових швидкостей складних рухів.