троицкая, бутузува

Рассмотрим наиболее рациональные способы построения

теней, применяемые в архитектурном проектировании. Основ-

ным универсальным является способ лучевых сечений.

Способ лучевых сечений приме-

I

III II

няется при построении как падающих

теней от одного объекта на другой, так и

22

12

собственных теней сложных по форме

объектов. Этот способ основан на пози-

12t

ционных задачах начертательной гео-

22t

метрии – на точку пересечения прямой с

плоскостью или поверхностью и на пе-

ресечение

поверхности

плоскостью.

Сущность способа состоит в следующем

21t

(рис. 26): строится сечение поверхности

A лучевой плоскостью α (1 2 3 4), к ли-

21

нии этого сечения проводятся касатель-

но прямые 1212t, 2222t параллельно лучу.

κ1

I

11t

II

Полученные точки касания 12 и 22 будут

α1

III

принадлежать контуру собственной тени

γ1

11

β1

δ1

поверхности. Продолжая эти лучи даль-

Рис. 27

ше до встречи с линией пересечения той

же плоскости α со второй поверхностью B, находим точки, при-

надлежащие контуру падающей тени на поверхности B. Повторяя

эту операцию необходимое количество раз и соединив соответст-

вующие точки, получим контуры собственной и падающей теней.

На рис. 27 дан пример в законченном виде, где использованы две

касательные плоскости δ и κ и три секущие – β, γ, α, из которых γ –

осевая.

На рис. 28 тень от козырька на фасаде построена с исполь-

зованием плана способом лучевых сечений. Лучи проведены на

характерные точки перемены профиля.

При криволинейных формах объекта применение способа

лучевых сечений вызывает значительный объем графических

построений, так как требует вычерчивания кривых линий пере-

сечения объекта лучевыми плоскостями.

Способ

касатель-

82

12 2232 42

52

62 72

ных поверхностей.

Для

12t

32t

42t

9

построения

на

фасаде

52t 62t

собственных теней

по-

22t

72t

2

82t

верхностей

вращения

92t

удобно

пользоваться

вспомогательными

опи-

санными или вписанны-

1121 3

ми

поверхностями

ци-

1

41

91

линдров и конусов, каса-

Рис. 28

51

61 71

81

тельных к заданной по-

верхности

и

соосных с

Рис. 28

нею.

Эти

поверхности

касаются заданной поверхности вращения по окружностям –

параллелям. Если общая параллель является экватором или гор-

лом, применяются касательные цилиндры, в остальных случа-

ях – вспомогательные конусы. Затем определяют теневые обра-

зующие вспомогательных поверхностей и отмечают точки их

соприкосновения с параллелями данной поверхности вращения.

Эти точки принадлежат контуру собственной тени поверхности

вращения.

Для определения

точек

собственной

тени,

лежащих на

фронтальном и профильном очерках поверхности (точек види-

мости), применяют касательные конусы с углом наклона обра-

зующей 45º, для построения высшей и низшей точек контура

тени – конусы с углом наклона образующей 35º. Для построения

дополнительных точек собственной тени применяют касатель-

ные конусы с произвольным углом наклона образующих.

Практическое применение способа рассмотрим на примере

построения собственной тени сферы.

На рис. 29 изображена фронтальная проекция сферы. Мыс-

ленно проведем конусы с углом 45º так, чтобы они касались

сферы. Таких конусов бу-

S2

дет

два: вершиной

вверх

45

35

(прямой) и вершиной вниз

92A

(обратный).

Оси конусов

42

лежат

на

вертикальной

82

12=12t

центровой

линии.

Для

E

55

о

точности удобнее провес-

ти сразу большую ось эл-

62

45

о

О2

3 =32t

липса под углом 45º пер-

2

пендикулярно

направле-

5=5

2t

72=72t

нию

фронтальной

проек-

2 =2

2

2t

10

2=102t

ции

луча.

Прямой

конус

2

B

C

имеет

со сферой общую

Рис. 29

параллель,

проходящую

S2

Рис.23

через точку 1(12). Теневые

Рис. 29

точки

у прямого

конуса

лежат на правой фронтальной и задней профильной образую-

щих (см. рис. 22, а). Для сферы – точки 1t(12t) и 4t(42t). Обрат-

ный конус касается сферы по параллели на уровне точки 2(22).

Теневые точки у обратного конуса лежат на левой фронтальной

и передней профильной образующих (см. рис. 22, а); для сфе-

ры – точки 2t(22t) и 5t(52t). Точки 3(32) и 6(62) лежат на паралле-

ли, по которой сфера касается цилиндра, мысленно проведенно-

го через экватор. (Теневая точка цилиндра лежит на расстоянии

0,7 от центровой линии, см. рис. 14, 17). Построение малой оси

эллипса (7 8) (72 82) объясняется на рис. 24. Теперь найдем верх-

нюю точку эллипса, для чего проведем прямой касательный ко-

нус с углом 35º. Для более точного определения касательной

23

параллели проводим через центр прямую под углом 55º до пере-

сечения с очерком в точках А и В. Через точку А проводим гори-

зонтальную линию – основание касательного конуса с углом 35º

и образующую конуса до пересечения в точке S (S2) с центровой

линией – это

вершина вспомогательного конуса. Затем

через

эту вершину проводим под углом 45º образующую (S 9) (S2 92),

которая дает

теоретическую линию тени, лежащую на невиди-

мой стороне сферы (см. рис. 22, б). Аналогично строим обрат-

ный конус и находим нижнюю видимую точку 10 (102) – теоре-

тическую точку света

(см. рис. 22, б). Эллипс строим по десяти

точкам.

Решим способом касательных поверхностей еще одну зада-

чу: построение теней торовой поверхности.

π2

y

y

На

рис. 30 изобра-

жен полувалик, ограни-

12t=12t1

55o

1

ченный

торовой поверх-

45

52t=52t

ностью,

примыкающий

4

1

3 =3 1

2 =2

4

2t

2t

срезом к некоторой фрон-

1

2t

= 2t

2t

2t

A

5

45

5

тальной

плоскости

π2.

3

5

4

4

5 1

Точка 1t (12t) собственной

Рис. 30

S=42t1

2t

тени найдена с помощью

3

1

касательного луча,

кото-

рый является правой об-

Рис. 30

2t

разующей

вспомогатель-

ного прямого конуса с углом наклона образующей 45º.

Точка 2t(22t) лежит на левой фронтальной образующей об-

ратного конуса с углом 45º (конусы не построены). Точка 3t(32t)

лежит на одной параллели с точкой 2t(22t) на

профильной очер-

ковой образующей. Точка 4t(42t) найдена с помощью обратного

касательного

конуса

с

углом 35º. Вначале проведена

левая

очерковая образующая,

которая касается валика в точке А.

Для

большей точности точка А найдена с помощью линии, проходя-

Вначале определим границу собственных теней – ею будет

ломаная линия

(12 22 32 42 52) на плите и правое переднее ребро

y1

на колонне. Выносы всех

элементов

нам известны.

А2

42=52=5

Проводим

вертикальные

12=2

2=12t

32

прямые на расстоянии

y1

22t

At=B2

42t

от ребра плиты и y2 – от

В2t

3

ребра колонны. Через точ-

y2

2y3

2t

ки 32 и 42 проводим проек-

ции

световых лучей

до

пересечения в точках

32t

2

11

5

1

y

1

и 42t

с вертикальной ли-

y

нией. Через нижнюю точ-

B1

3

y

ку 32t

проводим горизон-

А

31=41

2

y

1

2y

1

3

3

тальную линию до пересе-

.31

Рис. 31

чения

с вертикальной

Рис.27

прямой в

точке В2t . Затем

через

В2t

проводим обратный луч до пересечения с ребром ко-

При построении падающих

теней карниза на фронтальную

плоскость стены (рис. 32) сначала наносим

величину выноса

карниза у от плоскости стены на изображение правого углового

профиля.

Опор-

y

y

ные

точки

па-

12

дающих теней на

22

плоскость

стены

72

строим,

проводя

3

A

42

2

12t

проекции

зер-

5

кальных

лучей

B

3

22t

622

сначала до линии

2t

52t 4

выноса стены, а

C

62t

2t

затем лучей в ос-

Рис. 32

Рис. 32

новном направлении до пересечения с соответствующими гори-

зонтальными линиями связи. Например, через точку 1 проводим

основной и зеркальный лучи до пересечения с линией выноса

стены у. Через точку пересечения А проводим горизонтальную

линию связи. Основной луч пересекается с линией связи в точке

12t. Для определения контура собственной тени проводим зер-

кальные лучи, касательные к цилиндрическим поверхностям в

точках 7 и 4. Собственные тени цилиндров ограничены горизон-

тальными образующими, проходящими через эти точки. Па-

дающие тени на самом карнизе построены с помощью зеркаль-

ных лучей, проходящих через точки 2 и 4 до пересечения с про-

филем карниза.

Способ обратных лучей. Способ обратных лучей приме-

няется при построении падающих теней от одного объекта на

другой. Сначала строят падающие тени от этих объектов на од-

ну

плоскость и

определяют точки пересечения контуров па-

дающих теней. Они представляют собой совпавшие тени двух

точек этих объектов, лежащих на одном световом луче. Через

эти точки проводят лучи, направление которых противоположно

световым лучам до пересечения с линией, давшей тень. Первую

точку не определяют.

В основе способа лежит использование конкурирующих то-

чек. На рис. 33 даны две скрещивающиеся прямые (А В) и (С D).

B2

Их тени пересекаются в точке Kt = Lt

K2

D

2

на горизонтальной плоскости проек-

ций. Проведем из этой точки обрат-

L2

ный луч.

Он встретит на пути две

A2

C2

конкурирующие точки K (K1 K2)

и L

(L1

L2).

Поскольку точка К (К1

К2)

C1= C1t K2t= L2t

B1t

D1t

находится

левее

по лучу, действи-

A = A

L1

тельная тень от нее попадает не на

1t 1

горизонтальную плоскость, а

в точ-

K1

D

ку L(L1 L2) на прямой (C D).

1

Способ

вспомогательных

B1

Рис. 33

плоскостей-посредников.

Способ

применяется

для

построения

падающих теней

на

поверхностях,

имеющих

каркасы

из

прямых

или

окружностей.

В

качестве

вспомогательных

секущих плоскостей используют горизонтальные, фронтальные

и биссекторные плоскости, а также цилиндрические

поверхности, на которых строят впомогательные тени.

Вначале

выбирают

положение

вспомогательных

плоскостей-посредников, называемых «экранами», так, чтобы

они пересекали заданную поверхность по прямым или

окружностям. Затем строят падающую тень на экран и на линии

сечения отмечают точки, принадлежащие контуру падающей

тени заданной поверхности.

Горизонтальные плоскости-посредники. На рис. 34

построена падающая тень от прямой АВ на поверхность конуса

способом вспомогательных горизонтальных плоскостей-

посредников. Горизонтальные плоскости α, β, γ дают при

пересечении с конусом

концентрические окружности. Строим

тени от прямой АВ на все экраны.

Тень от АВ

на

плоскость

α -

(А1В1t) – пересекает основание в

B2

точках 1(11, 12) и 2(21, 22).

Затем

5

6

γ2

строим

тени

от

прямой

на

D2

2

2

B2t

остальные

экраны.

Экран

β

C2

4

β

2

пересекает

конус

по

средней

32

2

окружности, а прямую − в точке

12

α2

С(С1С2). Через точку С1 проведем

A2

линию,

параллельную (Аt

В1t),

22

B1t

так

как

пересечение

лучевой

6

41

1

21

плоскости,

проходящей

через

прямую АВ, с параллельными

экранами

–

параллельные

51

B1t

прямые. Получим на экране β

точки

3

(31,32)

и

4

(41,42).

3

Соединив последовательно точки

1

11

B1

1,

3,

5…6,

4,

2

на

обеих

D1

C1

A1=A1t

проекциях,

получим

линию

Рис. 34

пересечения световой плоскости,

проходящей через прямую АВ, с конусом.

Пересечение

крайнего луча, проведенного через точку В, определит тень

точки В на конус – Bt

и тень всей линии на конус –

(1 3 Bt).

29

B2=D2

x1

c

12t1

22t1

22t

12t

32t

απ22

42t1

5

βπ2

42t

2t

γ

x2

62t

π2

62t1

D1 11t1

61t1

λπ2

x2

R

2 1

x

R

3

xx

1

R

2

41t1

1

21t1

41t

61t

51t

B

21t

11t

31t

C

1

1

Рис. 35