ЧМ-1

31

Тогда система линейных уравнений (4.8) относительно значений a, b, c примет вид:

Решая систему (4.9) получим следующие значения параметров a=0.857; b=-1.8; c=-0.914. Таким образом, искомый полином имеет вид:

y=0.857 x2 - 1.8 x - 0.914.

По таблице 4.3 можно определить сумму квадратов отклонений экспериментальных данных yi от расчетных y i S=0.112.

Каким образом можно уменьшить погрешность S ? Для этого необходимо увеличить число коэффициентов полинома y . Это приведет к увеличению размерности системы. Таким образом, стараясь улучшить расчеты, т.е. уменьшить погрешность, приходится увеличивать объем вычислений.

4.2.Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

При решении дифференциальных, интегральных уравнений численными методами вместо искомой функции, обычно, определяют ее значения в узлах. На следующем этапе проводят интерполирование функций, т.е. восстановление функции по заданным узлам, замену графически заданной функции аналитической. Интерполяция интересует нас главным образом как один из способов построения многочлена, приближающего функцию на данном отрезке.

32

Пусть на некотором промежутке [a,b] заданы n различных узлов x1,x2,x3, ..., xn, а также значения некоторой функции y1,y2,y3, ..., yn в этих узлах. Необходимо построить полином P(x), проходящий через заданные точки, т.е.

P(xi)=yi

Этот полином называется интерполяционным полиномом, является единственным полиномом степени не выше n-1, и может быть записан, например, в форме Лагранжа или Ньютона.

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующую формулу:

i =1

(x-x1)...(x-xi-1)(x-xi+1)...(x-xn)

где li(x) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

(xi-x1)...(xi-xi-1)(xi-xi+1)...(xi-xn)

фундаментальные полиномы Лагранжа. Они удовлетворяют равенствам

и зависят лишь от заданных узлов xi , но не от интерполируемой функции yi .

Пример. Пусть задана таблица 4.4

Таблица 4.4

Необходимо построить интерполяционный полином Лагранжа, проходящий через заданные точки

Ln-1(xi)=yi , i=1,2,...,n.

Решение. Запишем фундаментальные полиномы Лагранжа:

(x-x2)(x-x3)(x-x4) (x-0)(x-1/2)(x-1)

33

l1(x)= ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = - (x3-3/2 x2+1/2 x)/3, (x1-x2)(x1-x3)(x1-x4) (-1-0)(-1-1/2)(-1-1)

(x-x1)(x-x3)(x-x4) (x+1)(x-1/2)(x-1)

l2(x)= ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = 2(x3-1/2 x2- x+1/2), (x2-x1)(x2-x3)(x2-x4) (0+1)(0-1/2)(0-1)

(x-x1)(x-x2)(x-x4) (x+1)(x-0)(x-1)

l3(x)= ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = -8(x3- x)/3, (x3-x1)(x3-x2)(x3-x4) (1/2+1)(1/2-0)(1/2-1)

(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x+1)(x-0)(x-1/2)

l4(x)= ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = 1(x3+1/2 x2- 1/2x). (x4-x1)(x4-x2)(x4-x3) (1+1)(1-0)(1-1/2)

Например, для l4(x) можно проверить свойство (5.2).

l4(-1)=0, l4(0)=0, l4(1.2)=0, l4(1)=1.

Подставляя li(x) в полином Лагранжа находим:

L3(x)=y1 l1(x)+y2 l2(x)+y3 l3(x)+y4 l4(x) =

= 0 l1(x)+2 l2(x)+9/8 l3(x)+0 l4(x) = x3 - 2 x2 - x + 2.

4.3.Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Запишем интерполяционный полином в форме Ньютона:

Nn-1(x)= y1+D1(x1,x2)(x-x1)+ D2(x1,x2,x3)(x-x1)(x-x2)+...

+D n-1(x1,x2,...,xn-1)(x-x1)...(x-xn-1), где

D0i = yi,

D1(xi,xk)=(D0i - D0k)/(xi-xk) - разделенная разность первого порядка,

D2(xi,xj,xk)=(D1(xi,xj)-D1(xj,xk))/(xi-xk) - разделенная разность второго порядка,

34

3(xi,xj,xl,xk)=( 2(xi,xj,xl)- 2(xj,xl,xk))/(xi-xk) - разделенная разность третьего порядка и т.д.

Для заданной таблицы 4.4 построим интерполяционный полином в форме Ньютона

N3(xi)=yi .

Расчеты представим в виде таблицы 4.5.

1(1,2)=(y1 - y2)/(x1 -x2)=(0-2)/(-1-0)=2,

1(2,3)=(y2 - y3)/(x2 -x3)=(2-9/8)/(0-1/2)= -7/4,

1(3,4)=(y3 - y4)/(x3 -x4)=(9/8-0)/(1/2-1)= -9/4,

2(1,2,3)=( 1(1,2)- 1(2,3))/(x1 -x3)=(2+7/4)/(-1-1/2)= -5/2,

2(2,3,4)=( 1(2,3)- 1(3,4))/(x2 -x4)=(-7/4+9/4)/(0-1)= -1/2,

3(1,2,3,4)=( 2(1,2,3)- 2(2,3,4))/(x1-x4)=(-5/2+1/2)/(-1-1)=1,

N3(x)= (1)+ (1,2)(x-x1)+ (1,2,3)(x-x1)(x-x2)+

+ (1,2,3,4)(x-x1)(x-x2)(x-x3)=

=0+2(x+1)-5/2(x+1)x+1(x+1)(x-1/2)=x3 -2x2-x+2.

35

ЛИТЕРАТУРА

1.Калиткин Н.П. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

2.Солодовников А.С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М.: Просвещение, 1966. - 183 с.

3.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.

М.: Мир, 1975. - 534 с.

4. Попов В.И. Численные методы расчета мостовых конструкций на ЭВМ.

М.: 1981. - 78 с.

5.Монахов В.М. и др. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике. М., Просвещение, 1978. - 175 с.

6.Информатика. Методические указания к лабораторным работам. «Численные методы решения задач строительства на ЭВМ» для студентов специальности 2910.//Казанская государственная архитектурно-строительная академия; Сост.: Габбасов Ф.Г., Гатауллин И.Н., Киямов Х.Г. - Казань:, 1998. -50 с.