ЧМ-1

21

½x2(3) - x2(2) ½= ½- 1.945+ 1.569½= 0.376

½x3(3) - x3(2) ½= ½2.024-1.788½= 0.236

3.Численные методы решения систем нелинейных уравнений.

Требуется решить систему нелинейных уравнений вида:

F1(x1,x2,x3,...,xn) = 0

F2(x1,x2,x3,...,xn) = 0

. . . . . . . . . . . (3.1)

Fn(x1,x2,x3,...,xn) = 0

3.1. Метод простой итерации (метод Якоби).

Систему нелинейных уравнений (3.1) после преобразований

xi =xi - Fi(x)/Mi ; i=1, 2, 3, ..., n

(здесь Mi определяются из условия сходимости), представим в виде:

xn =fn(x1,x2,x3,...,xn)

Из системы (2.3) легко получить итерационные формулы метода Якоби. Возьмем в качестве начального приближения какую-нибудь совокупность чисел x1(0),x2(0),...,xn(0). Подставляя их в правую часть (3.2) вместо переменных x1,x2,...,xn получим новое приближение к решению исходной системы:

x1(1) =f1(x1(0),x2(0),x3(0),...,xn(0))

x2(1) =f2(x1(0),x2(0),x3(0),...,xn(0))

. . . . . . . . . . . (3.3)

xn(1) =fn(x1(0),x2(0),x3(0),...,xn(0))

23

n

или max ∑½f¢ij½< 1.

1[i[n j =1

Пример: Найти решение системы (3.7) методом Зейделя с точностью e=0,001.

F(x,y)=2sin(x+1)-y-0.5 = 0

(3.7)

G(x,y)=10cos(y-1)-x+0.4 = 0

Решение: Представим (3.7) в виде (3.5):

x = f1(x,y) = x-(2sin(x+1)-y-0,5)/M1

(3.8)

y = f2(x,y) = y-(10cos(y-1)-x+0,4)/M2

Строим графики кривых системы (3.7) и определяем начальные при-

ближения x0=-1, y0=-0,7.

Запишем достаточное условие сходимости и определяем M1, M2:

½1-2cos(x0+1)/M1½+½1/M1½<1 и ½-1/M2½+½1+10sin(y0-1)/M2½< 1,

½1-2cos(1-1)/M1½+½1/M1½<1 и ½-1/M2½+½1+10sin(-0,7-1)/M2½< 1,

½1-2/M1½+½1/M1 ½< 1 и ½-1/M2½+ ½1-9,91665/M2½< 1,

Определяем частные значения M1=2, M2=10, которые удовлетворяют неравенствам

1-2/2+1/2 < 1 и 1/10+ 1-9,91665/10 < 1,

Переходим к реализации итерационного процесса:

xk+1 = xk-(2·sin(xk+1)-yk-0,5)/2

yk+1 = yk-(10·cos(yk -1)-xk+1+0,4)/10

25

Рис.3.2. Программа решения методом Зейделя.

3.3. Метод Ньютона.

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главным при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными вида:

Пусть известно некоторое приближение xk,yk корня x*,y*. Тогда по- -xk, Dyk+yk+1-yk можно найти решая систему:

F(xk+Dxk, yk+Dyk)=0

G(xk+Dxk, yk+Dyk)=0. (3.10)

Для этого разложим функции F, G в ряд Тейлора по Dxk, Dyk. Сохранив только линейные по Dxk, Dyk части, получим систему линейных уравнений:

относительно неизвестных поправок Dxk и Dyk. Решая эту систему линейных уравнений, определяем значения Dxk, Dyk.

Таким образом, решение системы уравнений по методу Ньютона состоит в построении итерационной последовательности:

26

где Dxk, Dyk - решения систем линейных уравнений, вида (3.11) на каждом шаге итерации.

В методе Ньютона также для обеспечения хорошей сходимости важен правильный выбор начального приближения.

Пример: Найти решение системы (3.7) методом Ньютона с точностью e=0,001.

методом Ньютона, при этом добиться точности e =0.001.

Решение: Начальные приближения x0=-1 и y0=-0,7. Определим частные производные:

¶F(x, y) ¶F(x, y)

¾¾¾¾ = 2·cos(x+1); ¾¾¾¾ = -1;

и используя (3.11), построим систему линейных уравнений относительно поправок

2·cos(x0+1) · Dx0 -1 · Dy0 = - 2·sin(x0+1)+y0+0.5 -1· Dx0 -10·sin(y0 -1) · Dy0 = - 10·cos(y0 -1)+x0 -0.4

Подставляя начальные приближения x0=-1; y0=-0,7 и решая систему линейных уравнений определяем поправки на первом шаге итерации

Dx0=-0,1112 Dy0=-0,0225

Далее начальное приближение уточняем по формулам (3.12)

x1 =x0 +Dx0= - 1 - 0,1112 = - 1,1112 y1 =y0 +Dy0= - 0,7 - 0,0225= - 0,7225

27

Подставляя результаты первой итерации x1=-1,1112; y1=-0,7225 и решая систему линейных уравнений

2·cos(x1+1) · Dx1 -1 · Dy1 = - 2·sin(x1+1)+y1+0.5 -1· Dx1 -10·sin(y1 -1) · Dy1 = - 10·cos(y1 -1)+x1 -0.4

определяем поправки на втором шаге итерации

Dx1=0,00026 Dy1=0,00004

Далее x1 и y1 уточняем по формулам (3.12)

x2 =x1 +Dx1= -1,1112+0,00026= - 1,1115 y2 =y1 +Dy1=-0,7225+0,00004= - 0,7225

Определяем погрешность по формуле

Таким образом имеем решение: x* = - 1,1115; y* = - 0,7225.

Программа реализующая метод Ньютона для указанной задачи представлена на рис. 3.3.

REM LR-3-3, m=13, n=5

INPUT X, Y

1F = 2*SIN(X+1)-Y - 0.5 G = 10*COS(Y-1)-X+0.4 Fx =2*COS(X+1)

Fy =-1 Gx =-1

Gy =-10*SIN(Y-1) D = Fx*GyGx*Fy DX=(G*Fy-F*Gy)/D DY=(F*Gx-G*Fx)/D X =X+DX

Y =Y+DY

PRINT X;Y; F;G;DX;DY;

28

INPUT TT

GOTO 1

END

Рис.3.3. Программа, реализующая метод Ньютона

4.1.Приближение функции по методу наименьших квадратов (МНК).

Очень часто в практической работе возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

Как правило, общий вид этой функциональной зависимости или так называемой эмпирической формулы известен, а некоторые числовые параметры закона неизвестны.

Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из двух этапов: на первом этапе выбирают вид искомой формулы, а на втором этапе для формулы подбирают параметры. Для первого этапа удобно графическое представление этой зависимости и по ней выбрать вид возможной зависимости во втором этапе, в соответствии с идеей МНК, необходимо минимизировать сумму отклонений:

i =1

где xi, yi - значения опытных данных y (xi) - значение функции, вычисленное в точке xi ; n - число опытов.

В случае линейной эмпирической формулы (4.1) принимает вид:

Функция (4.2) имеет минимум в точках, в которых частные производные от S по параметрам a и b обращаются в нуль, т.е.

n

∑ 2(a xi+ b - yi) xi = 0

i=1 n

∑2(a xi+ b - yi) = 0

i =1

29

Решая систему уравнений (4.4), получим значения a и b уравнения y=ax+b.

Пример: Подобрать аппроксимирующий полином первой степени y=ax+b для данных

Решение: Для удобства вычисленные значения расположим в таблице.

Таблица 4.1

Система для определения коэффициентов имеет вид:

Решая систему (4.5), получим следующие значения параметров a=1.29; b=-0.675. Следовательно, искомый полином имеет вид y = 1.29 x - 0.67.

В случае квадратичной зависимости (4.1) принимает вид:

Функция (4.6) имеет минимум в точках, в которых частные производные от S по параметрам a, b, c обращаются в нуль:

В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают систему линейных уравнений:

n

∂S(a,b,c)/∂a = 2 ∑ (axi2 + bxi + c - yi) xi2=0

i =1 n

∂S(a,b,c)/∂b = 2 ∑ (axi2 + bxi + c - yi) xi=0

i =1 n

∂S(a,b,c)/∂c = 2 ∑ (axi2 + bxi + c - yi) *1=0

i =1

Система линейных уравнений состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая систему линейных уравнений (4.8) получим значения a, b, c

уравнения y=ax2+bx+c.

Пример: Используя МНК построить эмпирическую зависимость y=ax2+bx+c, аппроксимирующую следующие табличные значения:

Решение: Расчеты представим в виде таблицы 4.2.