10

Методические указания к лабораторным работам по физике для сту- дентов дневного и заочного отделений специальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 2911000, 550100 / Казан-

ский государственный архитектурно-строительный университет; Состави- тели В.И.Сундуков, И.А.Заводов. Под редакцией В.В. Алексеева. - Казань, 2005 г. 14 с.

В работе рассмотрены вопросы, связанные с кинематикой и динами- кой поступательного и вращательного движения. Описан принцип работы баллистического маятника.

Илл. 8

Г. Г.

ã Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 2005 г.

2

Вектор линейной скорости υ направлен по касательной к траектории (окружности) и ее модуль υ равен

υ = ω R,

где R - радиус окружности .

Угловая скорость может изменяться со временем. Быстроту ее измене- ния характеризуют угловым ускорением. Пусть за элементарный промежу- ток времени dt угловая скорость изменилась на величину dω . Тогда угло-

вое ускорение ε равно

т.е. угловое ускорение это — изменение угловой скорости, отнесенное к единице времени. Направление углового ускорения при движении по ок-

ружности совпадает с направлением угловой скорости при ускоренном движении и противоположное − при замедленном.

В системе единиц СИ единицей угловой скорости является 1 рад/с, а углового ускорения — 1 рад/с2.

2. Момент силы относительно оси и точки. Пусть материальная точ-

ка массой m движется в инерциальной системе отсчета по окружности ра- диусом R под действием внешней силы F ( рис. 2 ). Моментом M силы относительно точки O называется векторное произведение радиуса- вектора, проведенного из этой точки до точки приложения силы, на эту силу.

4

силы. На рис. 2 это − вектор выходящий перпендикулярно из плоскости чертежа. Модуль момента силы можно записать в ином виде, если учесть, что R· sinα = l является длиной перпендикуляра, опущенного из точки O на направление силы (рис. 2). Это расстояние называют плечом силы. Тогда

M = F l,

т.е. модуль момента силы равен произведению модуля силы на плечо.

3. Момент упругих сил. Известно, что при упругом растяжении или сжатии возникает сила Fупр= - k×x, направленная в сторону противополож-

смыслу аналогичная k.

4. Момент инерции твердого тела. Из опытов следует, что вращаю-

щиеся тела обладают способностью противодействовать изменению угло- вой скорости, которой они обладают. Это свойство тел было названо инертностью тела при вращательном движении. Инертность тела при вра- щении характеризуется инерции тела I.

Величина момента инерции материальной точки относительно оси вращения равна:

5

относительно оси равен сумме Ii отдельных элементарных частей тела от- носительно той же оси. При вращении тела все его точки движутся по ок- ружностям различного радиуса Ri , плоскости которых перпендикулярны к оси вращения (рис 4):

I.= å Ii = åmi Ri 2 .

ii

5.Момент импульса материальной точки, твердого тела. Закон со-

хранения момента импульса. По аналогии с моментом силы относитель-

но точки вводится понятие момента импульса. Моментом L импульса то-

чечного тела относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора R , проведенного из этой точки до точечного тела, на импульс mυ этого тела:

L = m×[Rυ].

Вектор L , как и момент силы перпендикулярен к плоскости, проведен- ной через векторы R и υ . Его направление находится по правилу право-

го винта (рис 5).

При движении материальной точки по окружности модуль момента импульса относительно центра окружности равен

пульсов тел входящих в эту систему: L = å Li . Момент импульса L замк-

i

6

нутой механической системы относительно оси или точки постоянен во времени.

L = const .

Это означает, что моменты импульсов отдельных тел системы могут изменяться, однако их векторная сумма остается неизменной. Данное ут- верждение − суть закона сохранения момента импульса.

6. Кинетическая энергия. Кинетической называется энергия, кото- рой обладает тело при своем движении.

Для поступательно движущегося тела эта энергия равна:

Wk поступ = 21 mυ 2 .

Кинетической энергией вращательного движения, называется энергия, которой обладает тело при вращении. Ее формулу легко получить если учесть, что для вращательного движения аналог массы m - момент инер- ции I, скорости - w:

Wk вращат = 21 I ω 2 .

Если тело одновременно и вращается и движется поступательно, то кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий:

Wk = Wk вращат. + Wk поступ

7. Потенциальная энергия. Если на тело в каждой точке пространства действует какая-нибудь сила, то совокупность этих сил называют силовым полем или полем. Существует два вида полей — потенциальные и непотен- циальные (или вихревые). В потенциальных полях на тела, помещенные в них, действуют силы, зависящие только от координат тел. Эти силы полу- чили название потенциальных или консервативных. Они обладают свойст-

вом: работа потенциальных сил при перемещении тела по произвольному замкнутому пути (1-2-1, рис.6 ) равна нулю. Это возможно лишь в том случае, если на одних участках силы совершают положительную, а на дру- гих ¾ отрицательную работу ( рис. 6 ), а их алгебраическая сумма равна нулю. Или другими словами: работа потенциальных сил не зависит от пути переноса тела и определяется только его начальным и конечным по- ложением.

7

В макромире имеется всего лишь три вида потенциальных сил ¾ гра- витационная, упругая и электростатическая силы. К непотенциальным си- лам относятся силы трения, называемые диссипативными.

Тела, находящиеся в потенциальном поле, обладают способностью в

поле, т.е. она зависит от взаимного расположения взаимодействующих тел.

Энергия, обусловленная взаимодействием тел или частей одного и того же тела, называется потенциальной.

Для деформации сжатия или растяжения (рис. 3) потенциальная энергия равна:

Wp = 21 k x 2 ,

для деформации кручения (если применить аналогию п.6):

Wp = 21 D ϕ 2 .

Величина потенциальной энергии тела может быть определена лишь с точностью до произвольной постоянной, значение которой зависит от вы- бора так называемого нулевого уровня, т.е. положения тела, в котором по- тенциальную энергию условно принимают за ноль. Потенциальная энергия равна той работе, которую совершают силы поля, действующие на тело, при переносе его из данной точки на нулевой уровень. Таким образом по- тенциальная энергия тела зависит от выбора нулевого уровня. Это, однако, не отражается на физических законах, поскольку в них фигурирует либо разность потенциальной энергии тела, либо производная от этой энергии по координатам, которые не зависят от произвольной постоянной. Для уп-

8

ругих деформаций потенциальная энергия обычно берется равной нулю, в недеформированном состоянии.

8. Закон сохранения механической энергии. Величину W, равную сумме кинетической и потенциальной энергии тела, т.е. W = Wk + Wp , на-

зывают полной механической энергией или механической энергией.

В механической системе, в которой действуют только потенциальные силы, механическая энергия — величина постоянная. В этом и состоит закон сохранения механической энергии.

W = Wk + Wp = const

БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Крутильный маятник представляет собой массивное тело, подвешен- ное на тонкой упругой струне. В данном случае - это жестко закрепленные с нитью два уравновешенных плеча с подвижными грузами m0 (рис 7). Ес- ли повернуть маятник на некоторый угол ϕ, то нить будет деформирована, как на рис. 3 (деформация кручения). При этом возникнут силы упругости, стремящиеся вернуть маятник в исходное положение. Если не препятство- вать, то маятник начнет двигаться. При этом запасенная потенциальная энергия, обусловленная кручением подвеса, будет переходить по закону сохранения энергии в кинетическую энергию вращения. Далее, подобно тому, как это происходит в любом маятнике, кинетическая энергия начнет переходит в потенциальную и так далее. Возникнут колебания. Для нахож- дения периода (времени одного колебания) крутильного маятника прове- дем аналогию с колебанием груза массой m на пружине жесткостью k, пе-

риод которого определяется по формуле

T = 2π mk .

Если заменить (см. п. 6 и 7) массу m на момент инерции I, а жесткость пру- жины k − на постоянную определяющую упругие свойства подвеса D, то период колебаний крутильного маятника запишется в виде:

T = 2π DI .

Это выражение указывает простой путь для вычисления D, если известен момент инерции I − достаточно измерить период колебаний маятника

9