Пример к части II

Исходные данные: Рис.6

Рассмотрим стержень с поперечным сечением, показанным на рис.6. Сечение сложное, его надо разбить на прямоугольные части: 1 фигура а х ; 2 фигура с х ; 3 фигура 0,5а х . Размеры а, с,  надо определять через заданный размер «b» в табл.1. Пусть получилось а = 24 см, с = 26,8см,  = 2,6 см.

Решение

1. Найдем центр тяжести сечения (т.С) и главные центральные моменты инерции и.

Сечение имеет одну ось симметрии «Y» - она является главной осью, вторая главная ось Х перпендикулярна первой и проходит через т.С.

Введем произвольные оси и(рис.6) с учетом симметрии фигуры. Положение т.С можно определить так:

13,19 см, где:

- суммарная площадь сечения;

- статический момент сечения относительно оси .

Примечание:если сечение включает прямоугольное отверстие, то при суммировании эта площадь и статический момент считаютсяотрицательными.

см²; см²;

см²; А = 62,4+69,68+31,2 = 163,28 см.

- координаты центров тяжести каждого прямоугольника вдоль оси:

1,3 см; см;

см

=2153,84 см³

Определив находим положение т.С и проводим главные центральные оси ХСY.

Для вычисления моментов инерции используем формулу изменения моментов инерции при параллельном переносе осей (верхний индекс в скобках при J определяет номер фигуры, а нижний определяет ось):

отсюда

см⁴

см⁴

см⁴

см⁴

J_x =23165,8 см⁴

Все оси исовпадают (ввиду симметрии сечения), поэтому

3408,9 см⁴

см⁴; см⁴;

см⁴

Найдем радиус инерции сечения:

11,91 см; 4,57 см

Вычислим координаты точки Р приложения сжимающей силы F в главных центральных осях (см.рис.7):

6 см; 16,21 см

Определим положение нейтральной оси (Н.О) сечения. Для этого вычислим отрезки и, которые Н.О отсекает на осях координат:

см; см

Рисуем сечение стержня в масштабе и, откладывая на этом чертеже отрезки ис учетом знаков, найдем положение Н.О (рис.7).

Пронумеруем все угловые точки сечения т.1.12. Нейтральная ось делит сечение на две зоны: сжатую (где расположена т.Р, в которой действует сжимающая сила F) и растянутую. Из рис.7 видно, что в растянутой зоне максимально удаленной от Н.О будет т.6, в в сжатой зоне – т.12.

Если Н.О не пересекает сечение, то все сечение работает на сжатие (растянутой зоны нет).

Рис.7

В любой i-той точке сечения (с координатами ) при внецентренном нагружении нормальные напряженияможно найти по формуле:

. (6)

Условие прочности в т.6 (х₆ =  12 см, у₆ = =  13,19 см).

. Отсюда найдем - допускаемую нагрузку из условия прочности в растянутой зоне сечения:

=  123,70 кН.

Условие прочности в т.12 (х₁₂ = 6 см, у₁₂ = Y_р +  = 16,21+2,6=18,81 см).

. Отсюда найдем - допускаемую нагрузку из условия прочности в сжатой зоне сечения:

=  301,8 кН.

Из этих двух иза общую допускаемую нагрузку [F] необходимо принять min (по модулю)

Итак [F] = -123,7 кН.

Построим эпюру _z в сечении колонны.

Согласно (6) - линейно меняются по координатам точекx_i и y_i сечения. Поэтому эпюру _z можно построить по двум значениям от [F]:

1) в т.6 от [F] = = -123,7 кН= 3 кН/см².

2) в т.12 от [F] = [F] (0,02982) =  3,69 кН/см²

Строим эпюру _z. Из т.6 проводим перпендикуляр к Н.О, отрезок (6m). В т.6 под углом 90 к (6m) отложим = 3 кН/см², получим точку n. Из т.12 проводим отрезок (12mL), параллельно Н.О. Отложим = 3,69 кН/см², равное отрезку (mL).

Напряжения откладывать в масштабе, смена знаков на эпюре _z происходит в точке, где отрезок (Ln) пересекается с Н.О. Эпюра _z показана на рис.7.