- •Раздел 12 анализ напряженно-деформированного состояния в точке тела
- •I. Объемное напряженное состояние
- •1. Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке
- •2. Главные напряжения, главные площадки
- •3. Экстремальные касательные напряжения
- •4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения
- •II. Плоское напряженное состояние
- •III. Анализ деформированного состояния
III. Анализ деформированного состояния
Тензор деформации представим в симметричном виде (см. рис), когда и т.д. Анализ деформиро-ванного состояния проведем по аналогии с
|
вышеприведенным анализом напряженного состояния. Три взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми при деформации тела равны нулю, называются главными деформациями и обозначаются .
Главные деформации находятся из уравнения, аналогичного уравнению (12.4) для определения главных напряжений
(12.15)
Здесь и инварианты деформированного состояния:
(12.16)
Решение кубического уравнения (12.15) дает три величины главных деформаций .
В случае плоской деформации, когда, например, по аналогии с ПНС, формулы (12.10), получим и
(12.17)
Экстремальные сдвиги находятся по формулам, аналогичным (12.6) для определения экстремальных касательных напряжений
(12.18)
Для изотропных материалов направления главных деформаций совпадает с направлениями главных напряжений.
Выясним физический смысл инварианта : Рассмотрим кубик, у которого ребра совпадают с направлениями главных деформаций и до нагружения тела их длины равны 1. Его объем . После деформации его объем станет . Относительное изменение объема обозначим
Деформации малы, поэтому величины второго и третьего порядка малости можно не учитывать, тогда
(12.19)
Итак, первый инвариант деформированного состояния определяет относительное изменение объема тела.
Октоэдрический сдвиг, по аналогии с (12.7) – октаэдрических касательных напряжений, определяется так
(12.20)
Последняя формула получена с учетом (12.18)