- •Раздел 12 анализ напряженно-деформированного состояния в точке тела
- •I. Объемное напряженное состояние
- •1. Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке
- •2. Главные напряжения, главные площадки
- •3. Экстремальные касательные напряжения
- •4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения
- •II. Плоское напряженное состояние
- •III. Анализ деформированного состояния
4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения
Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их , т.к. должно быть .
Нормальное напряжение и касательное на этой площадке через главные напряжения найдем по формулам (6) и (7) подстановкой
(12.7)
Рис.в |
Величину называют часто гидростатическим давлением. С т.О на рис. В обозначена октаэдрическая площадка с и , заштрихованы главные площадки с и показаны три площадки с экстремальными касательными напряжениями и . Легко показать, что , следовательно, и тоже |
являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.
II. Плоское напряженное состояние
а) Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонных площадках
xν a x y ν yx xy ν ν yν Рис. 12.1 |
Плоское напряженное состояние (ПНС) является частным случаем объемного, когда отсутствуют все напряжения на площадках, перпендикулярных к одной из координатных осей. Пусть отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных к оси , т.е. (9) Получим ПНС в осях , показанное на рис. 12.1. |
На наклонной площадке действует полное напряжение , которое можно разложить:
-
на составляющие по осям и , т.е. на и ;
-
на нормальное и касательное напряжения.
Очевидно: (10)
Как и в объемном напряженном состоянии, положение площадки определим так (см. рис. 12.1):
(11)
Напряжения и здесь определяются из уравнений (11.4), подставляя в них (9) и
(12.7)
Здесь .
Уравнения (12.7) легко получить из условий равновесия треугольного элемента, показанного на рис.12.1 Определим площадки элемента:
(13)
Умножая напряжения на площадки, составим уравнения статики
Подставляя (13) и сокращая на , получим формулы (12.7). Нормальное напряжение найдем, проектируя и на нормаль к площадке (см.рис. 12.1)
Подставляем (12.7), получим:
Подставляя (11) и учитывая, что , найдем
(12.8)
Касательное напряжение определим, проектируя и на направление (см. рис. 12.1)
Подставим (11) и учитывая, что , окончательно получим
(12.9)
в) Главные напряжения, главные площадки
Здесь, как и в объемном напряженном состоянии, имеются главные площадки с направляющими косинусами и , на которых нормальные напряжения экстремальны и они называются главными напряжениями , а касательные напряжения отсутствуют. Поэтому здесь . Подставляя это в формулы (12.7) получим
(14)
Известно, что , поэтому уравнения (14) имеют решение, если его определитель
Раскроем этот определитель
(15)
Здесь инварианты ПНС.
Решение квадратного уравнения (15) дает два корня и , которые и называют главными напряжениями в ПНС:
Окончательно получим для (знак (+)) и (знак (–)):
(12.10)
Положение главных площадок, где действуют и в ПНС удобно определять углами , которые нормали к главным площадкам составляют с осью . Их легко определить из условия отсутствия на главных площадках касательных напряжений. Подставляя и в (12.9) получим
откуда
(12.11)
Из (12.11) получим два значения , одно , другое , которые определяют две взаимно ортогональные главные площадки. и откладывать от оси против хода часовой стрелки.
Чтобы не выяснять, на каких площадках действуют и , надо подставить и в формулу (12.8), большая величина , а меньшая . Эти величины и должно быть равны величинам, вычисленным по (12.10).
с) Экстремальные касательные напряжения
Рис.с |
Вырежем из тела, испытывающего ПНС, прямоугольный элемент с главными площадками, на которых действуют и . Выделим наклонную площадку ab, нормаль к которой с направлением составляет угол . Напряжения и на этой площадке найдем по зависимостям (12.8) и (12.9), полагая . |
(16)
Из второй формулы (16) видно, что при
(12.12)
Подставляя сюда и из формулы (12.10), получим
(12.13)
Итак, экстремальные касательные напряжения действуют на площадках под углом 45 к главным и определяются по формулам (12.12) или (12.13).
Нормальные напряжения на этих площадках найдем по первой формуле (16), подставляя ()
(17)
Здесь учтено, что .
d) Чистый сдвиг
Рассмотрим частный случай ПНС, когда главные напряжения .
В этом случае экстремальные найдем по (12.12), а нормальные напряжения на этих площадках по (17). Итак
Такой случай носит название чистый сдвиг.
Рис. d |
Вырежем из тела прямоугольный элемент, испытывающий чистый сдвиг, т.е. по его граням действуют только . Найдем нормальное напряжение и касательное на наклонной площадке под углом (рис. d). Используя формулы (12.8) и (12.9), подставляя в них: , . Получим (12.14) |
Из этих формул видно, что при , а это как известно, характеристики главной площадки.
Итак, при чистом сдвиге главные площадки расположены под углом 45 к площадкам чистого сдвига, а главные напряжения на них:
(при )