Пример расчета

Часть 1. Расчет ступенчатого стержня

Дано: F1=24 кН D1=54мм F2=20 кН d1=30мм F3=36 кН D2=32мм F4=10 кН d2=16мм F5=0 D3=18мм F6=12 кН d3=6мм F7=2 кН =140 МПа = 14 кН/см2 l1 =1.2 м l=0.5мм l2 =1.0 м Е=2104 кН/см2 l3=0.8 м =12010-7 1/град t = 60

Рис.2

Для заданной расчетной схемы ступенчатого бруса (Рис.3) требуется:

1. Определить величину продольной силы N продольного нормального напряжения  на каждом участке и проверить прочность бруса.

2. Определить абсолютное удлинение бруса l от заданной нагрузки, и проверить жесткость бруса. Допускаемое удлинение [l] = 0.5 мм.

3. Определить температурное удлинение бруса l^t при нагревании на t = 60 (внешняя нагрузка отсутствует) и проверить жесткость бруса при нагревании [l] = 0.5 мм.

РЕШЕНИЕ

Определяем площади поперечного сечения А₁, А₂, А₃ на каждом участке.

1582.56 мм² = 15.83 см²

602.88 мм² = 6.03 см²

226.08 мм² = 2.26 см²

1. Определяем величину продольной силы N и напряжения  на каждом участке.

1-ый участок   z  1.2 м

z N₁ F₁+ F₂ =0

N₁ = F₁  F₂ = 24 - 20 = 4 кН

₁=₁₁=4 / 15.83 =0.253 кН/cм²

2-ой участок 1.2  z  2.2 м

z N₂  F₁ + F₂  F₃+ F₄ =0

N₂ =F₁ F₂ + F₃  F₄ = 2420+3610=30кН

₂=₂ ₂=30 / 6.03 =4.976 кН/cм²

3-й участок 2.2  z  3.0 м

z N₃  F₁+ F₂ F₃+ F₄ F₅+ F₆ =0

N₃ =F₁  F₂ +F₃ F₄ +F₅ F₆ =

= 24  20 +3610+012=18кН

₃=₃ ₃=18/2.26 =7.962 кН/cм²

2

D

.Строим эпюры N, 

B

C

A

F₁

F₂

F₃

F₄

F₅

F₆

F₇

N, кН

4

18

30

, кН/см²

0,26

4.976

7.962

Рис.4

3.Проверяем условие прочности.

Проверка условия прочности _max  ,

 _max = ₃ =7,962 кH/см²,  = 140 МПа= 14 кH/см²

7,962 кH/см²  14 кH/см². Условие прочности выполняется.

4. Определяем абсолютное удлинение бруса от заданной нагрузки

Условия жесткости  [l] мм; [l] = 0.5мм

[l] = 0.5825 мм > 0.5 мм

Условие жесткости от заданной нагрузки не выполняется.

5.Определяем температурное удлинение бруса при нагревании на t= 60 (внешняя нагрузка отсутствует).

=  l t = 120·10^-7 (120 + 100 + 80) 60 = 0,216 см = 2,16 мм

=0,5 мм, 2,16 мм >0,5 мм.

Условие жесткости при нагревании не выполняется.

Часть2. Расчет статически неопределимой шарнирно- стержневой системы, содержащей абсолютно жесткий элемент

Дано:

F=450 кН F = 450 кН

h₁ =5м

h₂ =2м

l₁ =1м 2 м

l₂ =2м

l₃ =1м 1 м 2 м 1 м

= - 0.7мм  t = - 20

А₁ /А₂ =1/2 _Т = 24 кН/см² Рис.5

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

1. Определить усилия в стержнях N₁ и N₂ от заданной внешней нагрузки.

2.Подобрать площади поперечных сечений стержней с учетом заданного соотношения площадей поперечного сечения А₁ /А₂ =1/2 двумя способами:

а) по допускаемому напряжению

б) по предельному состоянию (допускаемым нагрузкам).

Сравнить экономичность двух методов расчета.

3. Найти монтажные напряжения в стержнях от неточности изготовления  = -0.7мм первого стержня (1-ый стержень изготовлен короче на 0.7мм)

4. Найти температурные напряжения в стержнях, вызванные охлаждением 2-ого стержня на t = -20.

Материал стержней – сталь [] = 16 кН/см²

РЕШЕНИЕ

1. Определение усилий в стержнях N₁ и N₂ от заданной внешней нагрузки.

Жесткий брус освобождаем от связей, заменяя их реакциями. Используя метод сечений, показываем усилия N₁ и N₂, возникающие в стержнях. Неизвестные усилия направляем от сечения, считая их растягивающими.

Силовая схема

Н_А

F R_A

A

N₁ N₂

1м 2м 1 м

Рис.6.

Неизвестных 4 (R_A H_A N₁ N₂ )

Уравнений статики 3

Степень статической неопредели-мости m=4-3=1

Задача один раз статически неопределима.

Уравнения равновесия:

_=0 N₁ 3+F 2  N₂ 1=0 (1)

=0 H_A =0 (2)

Y=0 N₁ +N₂ +FR_A =0 (3)

Дополнительное уравнение условие совместности деформаций получаем из кинематической схемы конструкции.

Кинематическая схема

С₁ l₂

В C

В₁

положение оси бруса после приложения нагрузки

l₁ А

Рис.7

Используя предположение о малости деформаций, строим деформированную схему конструкции. Абсолютно жесткий брус под действием силы F поворачивается на малый угол вокруг опоры (т. А).

При этом первый стержень сжимается на величину l₁ (т.В переходит в В₁ ), а второй стержень растягивается на величину l₂ (т.С переходит в т. С₁ ). Из треугольников

l₁ < 0 укорочение

l₂ > 0 удлинение

Из подобия треугольников  АВВ₁  АСС₁

следует .BB₁ = - l₁ (сжатие), СС₁=l₂ (растяжение)

Тогда условие совместности деформаций примет вид:

(4)

По закону Гука l₁ = N₁ l₁/ EA₁; l₂ = N₂ l₂/EA₂; l₁ = l₂ = 2 м

Подставляя в (4) и учитывая А₂ = 2А₁, получим:

N₁= 3/2 N₂.

Окончательно, система уравнений для определения неизвестных N₁, N₂, R_A, H_A имеет вид:

(5)

Решая ее, получим N₁ = 245.455 кН (сжатие), N₂ = 163.636 кН (растяжение),

R_A = 368.181 кН, H_A = 0.

Проверка.

Подставляя найденные значения в уравнение _В = 0, получим

-F1 + R_A 3  N₂ 4 = 0

-450 х 1 + 368.181 х 3  163.636 х 4= 0

2. Подбор площадей при заданном соотношении А₁ /А₂ =1/2

а) по допускаемым напряжениям  = 16 кН/см²

Из условия прочности для 1-ого стержня:

₁ = ₁  А₁  [] получаем А₁  N₁  = 245.455/16 = 15.34 см² 

[A₁] = 15.34 см²

[A₂] =2[A₁] = 2 х 15.34 = 30.68см² .

Из условия прочности для 2-ого стержня:

₂= ₂А₂  [] получаем А₂  N₂  = 163.636/16 = 10.23 см² 

[A₂] = 10.23 см²

[A₁] =1/2[A₂] =1/2 х 10.23 = 5.115 см ² .

Получили два варианта площадей:

[А₁] =15.34 см² [А₂] =30.68 см² .

[А₁] =5.115 см² [А₂] =10.23 см².

Выбираем 1-ый вариант (большие площади):

[А₁] =15.34 см² [А₂] =30.68 см² .

2-ой вариант не обеспечивает прочности для 1-ого стержня.

б). Подбор площадей по допускаемым нагрузкам.

Метод можно применять, если стержни изготовлены из упруго-пластического материала. В этом случае разрушение конструкции начнется лишь тогда, когда материал потечет в обоих стержнях (напряжение ₁ и ₂ достигает предела текучести _т):

₁= - _Т = - 24 кН/см² 1-ый стержень сжат

₂= _Т = 24 кН/см² 2-ой стержень растянут

Пусть при заданной нагрузке F = 450 кН наступает пластическое разрушение конструкции. При этом

Подставляя в уравнение моментов , получим:

.

Отсюда = 7.5 см²: = 15.0 см². Эти площади соответствуют предельному состоянию, когда стержни «текут».

Допускаемые значения . Здесь k = 1.5 коэффициент запаса прочности. Окончательно получаем:

По второму способу площади сечения получились меньше.

Экономия материала: ==26.7%

Выводы: метод расчета по предельному состоянию (допускаемым нагрузкам) полнее использует ресурсы системы. Площади сечения получаются меньше. Экономия материала в данной задаче 26.7%.

3. Определение монтажных напряжений.

Пусть первый стержень изготовлен короче проекта на величину  = 0.7 мм (рис.8). Внешняя нагрузка отсутствует F = 0. При монтаже системы жесткий брус повернется вокруг точки А, растягивая и первый и второй стержни (рис.8). Для нахождения монтажных напряжений в стержнях конструкции надо решить статически неопределимую задачу так же, как в пункте 1. Чтобы избежать определения опорных реакций, используем только одно уравнение статики (1)

(6)

Так как задача один раз статически неопределима, записываем условие совместности деформаций (4)

1/3l₁= l₂ или l₁ = 3l₂ (7)

Учитывая неточность изготовления 1-ого стержня

(8)

. (9)

Эту задачу можно решать другим способом, так как напряжения не зависят от величины площадей А₁ и А₂, а зависят только от их отношения. Поэтому проще решать задачу сразу в напряжениях (без вычисленияи. Перепишем уравнение моментов (1) в напряжениях приF = 0.

.

Подставляя и учитывая, чтоА₁ = 1/2А₂ получим уравнение моментов в напряжениях:

(10)

Положение оси бруса после сборки

А  Рис.8

Соотношения (8), (9) также можно записать в напряжениях. Условие совместности деформаций 1/3l1= l2 или l1 = 3l2 с учетом монтажных напряжений, перепишем следующим образом

l₁=, l₂=

Итак, получили систему уравнений для определения монтажных напряжений в статически неопределимой шарнирно стержневой системе:

(11)

Решаем ее при следующих значениях:

 = 0.7 мм = 0.07 см, Е = 2 10⁵МПа = 2 10⁴ кН/см² , l₁ = l₂= 2м = 200см

Решение системы (11): монтажные напряжения

= 1.273кН/см² (растяжение)

= 1.908кН/см² (растяжение)

Знаки напряжений соответствуют рис.8.

4.Определение температурных напряжений.

Пусть после сборки системы второй стержень охлажден на t = 20. В статически неопределимой системе это приводит к возникновению температурных напряжений и. Внешняя нагрузка отсутствует (F = 0). Задача решается аналогично задаче о монтажных напряжениях.

Записываем уравнение моментов (10) в напряжениях:

(11)

Переписываем условие совместности деформаций (4)

l1 = 3l2

Положение оси бруса при температурном воздействии l2t изменение длины стер- жня при охлаждении на t (стержень от-соединен от системы до условного монтажа

Рис.9

Получаем следующую систему уравнений:

Решая ее при следующих значениях:

Е = 210⁵МПа = 210⁴ кН/см², l₁ = l₂ = 2м = 200см,

t = 20,  = 12010^-7 1/град,

Получим температурные напряжения:

= 2.62 кН/см² (растяжение)

= 3.93 кН/см² (растяжение)

Знаки напряжений соответствуют рис.9.