mathanaliz

1. xn = n → +∞, yn = n → +∞,

xn → 1; yn

2. xn = n → +∞, yn = n2 → +∞,

xn = 1 → 0; yn n

3. xn = n2 → +∞, yn = n → +∞,

xn = n → +∞; yn

4. xn = (−1)n−1 · n → ∞, yn = n → +∞,

xn = (−1)n−1 предела не имеет. yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1. xn = n → +∞, yn = n → +∞,

xn → 1; yn

2. xn = n → +∞, yn = n2 → +∞,

xn = 1 → 0; yn n

3. xn = n2 → +∞, yn = n → +∞,

xn = n → +∞; yn

4. xn = (−1)n−1 · n → ∞, yn = n → +∞,

xn = (−1)n−1 предела не имеет. yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Приведённые примеры показывают, что о пределе частного двух бесконечно больших числовых последовательностей в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят, что имеет место неопределён-

ность вида . А раскрыть неопределённость вида означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных бесконечно больших последовательностей (xn) и (yn), решить вопрос о пределе последователь-

ности xn .

yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём

n N, yn 6= 0.

Определение 36. Говорят, что бесконечно большие числовые последовательности (xn) и (yn) одного порядка роста, если

h1, h2 R и N N такие, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 18. Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём

n N, yn 6= 0.

Если lim xynn конечен и отличен от нуля, то последовательности (xn) и (yn) бесконечно большие одного порядка роста.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Фиксируем ε0 = |a2|.

Из выделенного синим цветом, в силу определения 36, следует утверждение теоремы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 37. Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём n N, yn 6= 0.

равен нулю, то говорят, что последовательность (yn) бесконечно большая более высокого порядка роста, чем последовательность (xn) (или последовательность (xn)

бесконечно большая более низкого порядка роста, чем последовательность (yn)).

Тот факт, что последовательность (xn) бесконечно большая более низкого порядка ро-

ста, чем последовательность (yn) записывают так: xn yn.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 38. Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём n N, yn 6= 0.

Если lim xynn = 1, то говорят, что последовательности (xn) и (yn) эквивалентные и пишут xn yn.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть a R, a > 1 произвольное.

Определение 39. Последовательности вида:

(ln ln n) , (ln n) , (n) , (an) , (n!) , (nn)

назовем образующими.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Можно показать, что k, l, m, r, s, i, j, p, q N имеет место шкала порядков роста последовательностей:

k r i

··· (ln ln n)m ··· (ln n)s ··· nj ···

··· (an)pq ··· n! ··· nn ···

(2.3)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit