5 Образовательные технологии

В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки реализация компетентностного подхода предусматривает использование в учебном процессе при изучении данной дисциплины кроме традиционных лекций также установочные лекции, лекции-визуализации и использованием компьютерных презентаций, лекции с заранее запланированными ошибками. Для чтения избранных лекций приглашаются специалисты и ученые других университетов. На практических занятиях по некоторым темам используется математические пакеты прикладных программ для проверки решения задач.

Видеоанализ —это инструмент, представляющий собой демонстрацию видеороликов, подготовленных преподавателем, или видеозаписей, на которых участники процесса обучения демонстрируют разные типы поведения в коммуникативной ситуации. Видеоанализ позволяет наглядно рассмотреть достоинства и недостатки разных типов коммуникации.

Тренинг(англ. «training» от «train» — обучать, воспитывать) — это метод активного обучения, направленный на передачу и развитие знаний, умений и навыков и социальных установок. В рамках тренинга часто используют следующие методы: игровые (деловые, ролевые игры), кейсы, групповая дискуссия, мозговой штурм, видеоанализ, модерация и др.

5.1 Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях

Семестр	Вид занятия (Л, ПР, ЛР)	Используемые интерактивные образовательные технологии	Количество часов
1	Л	Видеоанализ с применением компьютерных презентации с демонстрацией основных понятий и объектов изучения.	10
	ПР	Тренинг с использованием математических пакетов	4
	ЛР	Учебным планом не предусмотрено	—
2	Л	Видеоанализ с применением компьютерных презентации с демонстрацией основных понятий и объектов изучения.	10
	ПР	Тренинг с использованием математических пакетов	4
	ЛР	Учебным планом не предусмотрено	—
3	Л	Видеоанализ с применением компьютерных презентации с демонстрацией основных понятий и объектов изучения.	10
	ПР	Тренинг с использованием математических пакетов	4
	ЛР	Учебным планом не предусмотрено	—
4	Л	Видеоанализ с применением компьютерных презентации с демонстрацией основных понятий и объектов изучения.	10
	ПР	Тренинг с использованием математических пакетов	4
	ЛР	Учебным планом не предусмотрено	—
Итого:			56

6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

Задания типовых расчетов текущих аттестаций приведены в сборнике [5] (см. п. 8.1).

Вопросы промежуточной аттестации (1 семестр)

1. Метод математической индукции. Формула бинома Ньютона.

2. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи. Арифметические операции.

3. Комплексные числа. Модуль и аргумент; их геометрический смысл. Тригонометрическая и показательная формы записи. Умножение, деление и извлечение корня. Формулы Муавра и Эйлера.

4. Мощность множества. Счетные множества. Их свойства. Счетность Q. Мощность алгебраических чисел.

5. Мощность множества. Несчетность множества двоичных последовательностей. Его эквивалентность отрезку [0,1]. Множества мощности континуума. Мощность множества всех подмножеств множества.

6. Аксиома отделимости для R. Ограниченные подмножестваR. Точная верхняя и нижняя грани. Их существование.

7. Внутренние точки множества в R. Открытые множества. Их свойства.

8. Предельные точки множества в R. Замкнутые множества. Свойства замкнутых множеств. Связь между открытыми и замкнутыми множествами.

9. Структура открытых множеств в R.

10. Компактные множества в R. Их замкнутость и ограниченность.

11. Лемма о вложенных отрезках.

12. Компактность отрезка. Компактность замкнутых и ограниченных множеств.

13. Связные множества в R. Их описание.

14. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела; ограниченность; сохранение отношения порядка; теорема о «2-х милиционерах».

15. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.

16. Арифметические операции над пределами.

17. Теорема о пределе монотонной последовательности.

18. Число е. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы последовательности.

19. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

20. Критерий Коши существования предела последовательности.

21. Критерий предельной точки, критерий компактности, использующие последовательности.

22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними. Свойства бесконечно малых функций.

23. Критерий Коши существования предела функции. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.

24. Локальные свойства функции, имеющей предел: единственность предела; ограничен-ность; сохранение знака; переход к пределу в неравенствах; теорема о «2-х милиционерах». Предел сложной функции.

25. Арифметические операции над пределами функций.

26. Первый замечательный предел и связанные с ним пределы.

27. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы.

28. Сравнение функций: эквивалентность; о-малое; О-большое; одинаковый порядок .

29. Непрерывность функции в точке и на множестве. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. Локальные свойства непрерывных функций.

30. Точки разрыва монотонных функций.

31. Критерий непрерывности функции в R.

32. Теорема о непрерывном образе отрезка. Два ее следствия: теорема о наибольшем и наименьшем значениях и теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

33. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. Модуль непрерывности ограниченной функции. Связь с равномерной непрерывностью.

34. Производная функции. Ее геометрический смысл. Касательная и нормаль. Связь с непрерывностью.

35. Дифференцируемость и дифференциал функции. Связь с производной.

36. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.

37. Локальные экстремумы функции. Теорема Ферма.

38. Теорема Ролля.

39. Теоремы Лагранжа и Коши.

40. Два правила Лопиталя.

41. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

42. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

43. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

44. Формула Тейлора-Маклорена для функций .

45. Формула Тейлора-Маклорена для функций .

46. Условия возрастания, убывания и постоянства функции.

47. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие. Достаточные условия, использующие первую производную; вторую производную; высшие производные.

48. Выпуклые и вогнутые функции. Их геометрический смысл. Неравенства Иенсена.

49. Условия выпуклости и вогнутости функции.

50. Точки перегиба функции. Необходимое условие. Достаточные условия.

Вопросы промежуточной аттестации (2 семестр)

1. Первообразная, определение неопределенного интеграла. Его свойства.

2. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенном интеграле. Примеры.

3. Теоремы Безу, Гаусса. Разложение алгебраического многочлена на множители над полем С.

4. Разложение алгебраического многочлена над полем R.

5. Разложение правильных рациональных дробей на сумму элементарных над полем R.

6. Интегрирование элементарных дробей. Метод Остроградского.

7. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

8. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

9. Интегрирование дифференциального бинома.

10. Два определения интеграла Римана

11. Две леммы Дарбу.

12. Эквивалентность двух определений интеграла Римана. Критерий интегрируемости Римана.

13. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

14. Множества меры и длины нуль. Связь между ними. Мера счетного объединения множеств меры нуль. Длина компактного множества меры нуль.

15. Колебание функции на интервале и в точке. Критерий непрерывности функции в точке.

16. Множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного числа. Их замкнутость. Описание с их помощью множества точек разрыва функции.

17. Критерий интегрируемости Лебега.

18. Основные свойства интегрируемых функций. Первая теорема о среднем.

19. Свойства интеграла с переменным верхним пределом.

20. Существование первообразной для непрерывной функции. Характеризация пространства . Формула Ньютона-Лейбница.

21. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

22. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

23. Вторая теорема о среднем.

24. Несобственный интеграл 1-го рода. Определение сходимости. Критерий Коши. Признак сравнения для положительных функций.

25. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы 1-рода. Признак абсолютной сходимости.

26. Признаки Абеля и Дирихле для несобственных интегралов 1-рода.

27. Абсолютная и условная сходимость интегралов

28. Несобственный интеграл 2-рода. Определение сходимости. Критерий Коши. Признак сравнения для положительных функций.

29. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы 2-рода. Признак абсолютной сходимости.

30. Определение длины дуги кривой в пространстве . Спрямляемость гладкой кривой.

31. Понятие меры Жордана плоской фигуры. Условие измеримости по Жордану криволинейной трапеции, образованной неотрицательной функцией, вычисление её меры Жордана.

32. Два подхода к применению определенного интеграла на примере вычисления площади криволинейной трапеции.

33. как евклидово, нормированное , метрическое и топологическое пространство.

34. Открытые и замкнутые множества в . Внутренность, внешность и граница множества.

35. Сходящиеся последовательности в . Критерий покоординатной сходимости. Свойства сходящихся последовательностей. Критерий Коши.

36. Лемма о вложенных параллелепипедах.

37. Компактные подмножества в .Их ограниченность и замкнутость. Компактность параллелепипеда. Критерий компактности.

38. Критерий предельной точки. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерии компактности множеств в терминах предельных точек и сходящихся последовательностей.

39. Предел функции нескольких переменных по Коши и Гейне. Их эквивалентность.

40. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и на множестве. Критерий непрерывности функции на множестве.

41. Компактность непрерывного образа компактного множества в . Теорема Вейерштрасса.

42. Равномерная непрерывность функции нескольких переменных на множестве. Связь с непрерывностью. Теорема Кантора. Понятие модуля непрерывности функции и его связь с равномерной непрерывностью.

43. Связность непрерывного образа связного множества в . Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

44. Связность и компактность кривой. Линейно связные множества. Их связь со связными множествами.

45. Частные производные функции нескольких переменных. Свойства функций, имеющих частные производные. Примеры.

46. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных. Связь с частными производными и непрерывностью. Градиент функции.

47. Пространство . Дифференцируемость функций из.

48. Производная функции нескольких переменных по направлению. Вычисление производной по направлению в точке дифференцируемости. Экстремальное свойство градиента.

49. Теорема Лагранжа для функций нескольких переменных.

50. Производная вектор-функции. Касательная к кривой.

51. Производная сложной функции. Цепное правило.

52. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Независимость смешанной производной от порядка дифференцирования. Теорема Шварца. Пространство .

53. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

54. Квадратичные формы в . Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Их оценки. Критерий Сильвестра.

55. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Теорема Ферма. Достаточные условия.

56. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компактном множестве. Пример.

57. Дифференцируемость отображения. Достаточное условие дифференцируемости. Матрица Якоби, Якобиан.

58. Теорема об обратном отображении.

59. Теорема о неявном отображении.

60. Условные локальные экстремумы. Метод множителей Лагранжа. Пример.

Вопросы промежуточной аттестации (3 семестр)

1. Сходимость числового ряда. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости.

2. Критерий сходимости положительного ряда.

3. Признак сравнения в форме неравенств и в предельной форме. Обобщенный признак сравнения.

4. Признак Даламбера.

5. Радикальный признак Коши.

6. Признаки Раабе и Гаусса.

7. Признак Коши для рядов с монотонными членами.

8. Интегральный признак Коши. Оценка остатка ряда.

9. Признак абсолютной сходимости. Условно сходящиеся ряды.

10. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.

11. Преобразование Абеля. Признак Абеля.

12. Преобразование Абеля. Признак Дирихле для числового ряда.

13. Расстановка скобок в числовом ряде.

14. Перестановка абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана.

15. Умножение сходящихся рядов. Формальное произведение. Теорема Коши. Теоремы Мертенса и Абеля.

16. Двойные числовые ряды. Различные определения сходимости. Случай абсолютной сходимости.

17. Бесконечное произведение. Определение сходимости. Связь со сходимостью числового ряда.

18. Связь между сходимостью рядов ,и сходимостью бесконечного произведения.

19. Определение гамма-функции. Формула Эйлера. Функциональное уравнение.

20. Поточечная и равномерная сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Критерий Коши.

21. Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости функционального ряда.

22. Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда и непрерывность предельной функции. Пространство , его полнота.

23. Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда и интегрируемость предельной функции.

24. Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда и дифференцируемость предельной функции. Пространство , его полнота.

25. Поточечная сходимость степенного ряда.

26. Равномерная сходимость степенного ряда.

27. Свойства суммы степенного ряда в интервале сходимости.

28. Ряд Тейлора. Его единственность. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

29. Ряд Тейлора-Маклорена для элементарных функций.

30. Непрерывность собственного интеграла, зависящего от параметра.

31. Интегрируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.

32. Дифференцируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.

33. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши.

34. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

35. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, и непрерывность.

36. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, и интегрируемость.

37. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, и дифференцируемость.

38. Вычисление интеграла Дирихле.

39. Формула дополнения для гамма-функции. Интегральное представление гамма-функции.

40. Бета-функция. Ее связь с гамма-функцией.

41. Евклидово пространство интегрируемых функций. Среднеквадратичная сходимость. Связь с равномерной сходимостью.

42. Ортогональные и ортонормированные системы функций в . Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении.

43. Ряд Фурье по ортонормированной системе. Базисные и замкнутые системы. Связь между ними. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

44. Замкнутость и базисность в пространстве тригонометрической системы. Среднеквадратичная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Равенство Парсеваля.

45. Частичные суммы тригонометрического ряда Фурье как интегральные операторы. Ядро Дирихле. Константы Лебега.

46. Достаточное условие равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

47. Равномерная сходимость сумм Фейера для непрерывных периодических функций. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.

48. Теорема Вейерштрасса-Стоуна.

49. Достаточное условие поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

50. Преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье.

Вопросы промежуточной аттестации (4 семестр)

1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику.

2. Две леммы Дарбу.

3. Эквивалентность двух определений интеграла Римана.

4. Критерий интегрируемости Римана.

5. Интегрируемость непрерывных функций.

6. Множества меры и объема нуль. Связь между ними. Объем компактного множества меры нуль. Мера счетного множества.

7. Колебание функции на прямоугольнике и в точке. Критерий непрерывности функции в точке.

8. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного числа. Описание множества точек разрыва функции.

9. Критерий интегрируемости Лебега.

10. Мера Жордана ограниченного множества. Критерий измеримости множества по Жордану.

11. Определение интегрируемости функции по ограниченному множеству. Достаточное условие интегрируемости.

12. Замкнутость множества интегрируемых функций относительно сложения и умножения. Достаточное условие интегрируемости сложной функции.

13. Теорема Фубини. Ее применение к вычислению двойного и тройного интегралов.

14. Свойства интеграла Римана.

15. Формула Дирихле-Лиувилля.

16. Вычисление объема n-мерного шара, симплекса, октаэдра.

17. Криволинейные координаты. Координатные линии и поверхности. Ортогональные координаты. Коэффициенты Ламе. Замена переменных в кратном интеграле.

18. Полярные координаты. Двойной интеграл и оператор Лапласа в полярных координатах.

19. Цилиндрические координаты. Тройной интеграл и оператор Лапласа в цилиндрических координатах.

20. Сферические координаты. Тройной интеграл и оператор Лапласа в сферических координатах.

21. Сферические координаты в .Вычисление объема n-мерного шара.

22. Геометрические и механические приложения двойного и тройного интегралов.

23. Несобственные кратные интегралы 1-го рода. Сходимость интеграла .

24. Несобственные кратные интегралы 2-го рода. Сходимость интеграла .

25. Криволинейный интеграл 1-го рода. Определение, вычисление, свойства, приложения.

26. Криволинейный интеграл 2-го рода. Определение, вычисление, свойства. Связь с криволинейным интегралом 1-го рода.

27. Формула Грина.

28. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода в от пути.

29. Поверхность в . Касательная плоскость и нормальный вектор к поверхности. Первая квадратичная форма на поверхности.

30. Определение площади поверхности в .

31. Определение площади k-мерной поверхности в . Площадь сферы в .

32. Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение, вычисление, свойства, приложения.

33. Поверхностный интеграл 2-го рода. Определение, вычисление, свойства. Связь с интегралом 1-го рода.

34. Формула Гаусса-Остроградского.

35. Соленоидальное векторное поле. Дивергенция и ротор векторного поля. Условия соленоидальности.

36. Формула Стокса.

37. Потенциальное векторное поле. Условия потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода в от пути.

38. Гармоническое поле. Уравнение Лапласа. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей. Уравнение Пуассона.

39. Вторая формула Грина.

40. Определение дифференциальной формы порядка k. Замена переменных в дифференциальной форме.

41. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал.

42. Точные и замкнутые дифференциальные формы. Связь между ними. Условия точности и замкнутости форм в .

43. Ориентация пространства и k-мерной поверхности в . Определение интеграла от дифференциальной формы.

44. Формула Стокса в . Частные случаи формулы Стокса.