1 Цели и задачи освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование математической культуры студентов, фундаментальная подготовка студентов в области математического анализа, овладение современным аппаратом математического анализа для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Задачами освоения дисциплины являются:

• изучение основных понятий, определений и утверждений математического анализа,

• приобретение навыков решения задач математического анализа,

• изучение приложений математического анализа в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

2 Место дисциплины в структуре ооп впо

Дисциплина относится к базовой части учебного цикла — 3Б «Профессиональный цикл».

Для освоенияданной дисциплины

студентам необходимы знания и умения, полученные при изучении дисциплины «Математическая составляющая естественнонаучных дисциплин».

Освоение данной дисциплины необходимо для дальнейшего изучения дисциплин: «Функциональный анализ», «Комплексный анализ», «Дифференциальные уравнения», «Уравнения с частными производными».

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Математический анализ»

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки:

а) общекультурных (ОК):

• значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы (ОК-7);

• способность и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);

б) профессиональных (ПК):

• умение понять поставленную задачу (ПК-2);

• умение формулировать результат (ПК-3);

• умение строго доказать утверждение (ПК-4);

• знание корректных постановок классических задач (ПК-9);

• понимание корректности постановок задач (ПК-10);

• возможность преподавания физико-математических дисциплин и информатики в общеобразовательных учреждениях и образовательных учреждениях среднего профессионального образования (ПК-29).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

• основные понятия, определения и свойства объектов математического анализа,

• формулировки и доказательства утверждений, методы доказательства,

• приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;

уметь:

• доказывать утверждения математического анализа,

• решать задачи математического анализа,

• применять полученные навыки в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;

владеть:

• аппаратом математического анализа,

• методами доказательства утверждений,

• навыками применения математического анализа в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

4 Содержание и структура дисциплины

4.1 Содержание разделов дисциплины

1. Функции одной переменной.

   1. Введение в анализ. Топология R.

      1. Натуральные числа N. Операции над натуральными числами. Отношение порядка. Принцип математической индукции. Бином Ньютона.

      2. Кольцо целых чисел Z. Поле рациональных чиселQ, его не полнота. Аксиома непрерывности. Поле действительных чиселR. Интервалы и окрестности вR. Модуль числа.

      3. Поле комплексных чисел C. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

      4. Модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Формулы Эйлера, Муавра.

      5. Отображение множеств. Мощность множества. Счетные множества. Их свойства.

      6. Множества мощности континуума. Их несчетность. Мощности множества и множества всех его подмножеств.

      7. Расширенная система действительных чисел. Ограниченные подмножества в R. Точные верхняя и нижняя грани. Арифметические свойства верхней и нижней граней.

      8. Принцип Архимеда. Лемма о вложенных отрезках. Двоичные и десятичные дроби.

      9. Открытые и замкнутые множества в R. Их свойства. Связь между ними.

      10. Структура открытых множеств в R.

      11. Граница, внутренность и внешность множества в R.

      12. Компактные множества в R. Их описание.

      13. Связные множества в R. Их описание.

   2. Предел последовательности.

      1. Определение предела последовательности. Его свойства. Теорема о «2-х милиционерах».

      2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Арифметические операции над пределами последовательностей.

      3. Предел монотонной последовательности. Число e.

      4. Частичные пределы, верхний и нижний пределы последовательности. Неравенства для верхнего и нижнего пределов. Критерий предельной точки.

      5. Фундаментальные последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши существования предела последовательности.

   3. Предел функции.

      1. Действительные функции. Основные понятия. Элементарные функции.

      2. Два определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность. Критерий Коши. Верхний и нижний пределы функции.

      3. Свойства предела функции. Предел сложной функции.

      4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства. Арифметические операции над пределами функций.

      5. Два замечательных предела. Сравнение функций: эквивалентность, О-большое, о-малое, одинаковый порядок. Таблица эквивалентных функций.

   4. Непрерывность функции.

      1. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность элементарных функций. Операции над непрерывными функциями. Локальные свойства непрерывных функций.

      2. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. Точки разрыва монотонных функций.

      3. Критерий непрерывности функции в R. Теорема о непрерывном образе отрезка. Свойства непрерывных функций на отрезке.

      4. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. Модуль непрерывности функции.

   5. Производная и дифференциал функции.

      1. Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функции, имеющей производную. Уравнения касательной и нормали к кривой.

      2. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные функций, заданных параметрически и неявно.

      3. Производные элементарных функций.

      4. Дифференцируемость и дифференциал функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

      5. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные второго порядка от сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически и неявно.

   6. Исследование дифференцируемых функций.

      1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

      2. Правило Лопиталя.

      3. Формула Тейлора для дифференцируемых функций с остаточным членом в формах Лагранжа, Пеано, Коши.

      4. Формула Тейлора для элементарных функций. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях, при вычислении предела. Метод выделения главной части.

      5. Условия монотонности функции. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие. Достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой на отрезке функции.

      6. Выпуклость и вогнутость функции. Условия выпуклости и вогнутости. Неравенства Иенсена.

      7. Точки перегиба функции. Необходимое условие. Достаточные условия.

      8. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

      9. Основные плоские кривые: окружность эллипс, гипербола, цепная линия, циклоида, эпициклоиды, астроида, развертка круга, спирали, улитки, кардиоида, розы, лемнискаты.

   7. Неопределенный интеграл.

      1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Методы интегрирования: по частям, замена переменной.

      2. Многочлены. Разложение многочленов на множители над полями CиR. Теоремы Безу и Гаусса.

      3. Разложение дробно-рациональных функций на элементарные дроби над полями CиRи их интегрирование. Метод Остроградского.

      4. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

      5. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

   8. Определенный интеграл и его приложения.

      1. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу, верхний и нижний интегралы. Два определения Римана. Критерий Коши.

      2. Две леммы Дарбу. Эквивалентность двух определений интеграла Римана.

      3. Критерий интегрируемости Римана. Основные классы интегрируемых функций.

      4. Множества меры и длины нуль. Их совпадение для компактных множеств.

      5. Колебание функций в точке. Критерий непрерывности функций в точке. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного числа. Описание множества точек разрыва.

      6. Критерий интегрируемости Лебега.

      7. Свойства интеграла Римана. Первая теорема о среднем.

      8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

      9. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

      10. Вторая теорема о среднем.

      11. Несобственные интегралы I-го иII-го рода. Критерий Коши. Признак сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимости. Признак абсолютной сходимости.

      12. Признаки сходимости несобственных интегралов Дирихле и Абеля.

      13. Определение длины дуги кривой. Вычисление длины гладкой кривой.

      14. Понятие о площади криволинейной трапеции.

      15. Общая схема применения определенного интеграла при решении геометрических, механических и физических задач.

2. Функции нескольких переменных

   1. Топология пространства Rⁿ.

      1. Евклидово пространство Rⁿ. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

      2. Открытые и замкнутые множества в Rⁿ.

      3. Сходящиеся последовательности в Rⁿ. Покоординатная сходимость. Критерий Коши. Свойства сходящихся последовательностей. Критерий предельной точки.

      4. Ограниченные, компактные, связные и выпуклые множества в Rⁿ. Критерий компактного множества.

   2. Непрерывность функций и отображений в Rⁿ.

      1. Два определения предела функции и отображения по Коши и Гейне. Их эквивалентность. Критерий Коши. Свойства предела. Пределы по направлениям, повторные пределы.

      2. Непрерывность функции и отображения в точке и на множестве. Операции над непрерывными отображениями. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности отображения на множестве.

      3. Свойства непрерывных отображений на компактных множествах. Теорема Вейерштрасса. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Модуль непрерывности.

      4. Свойства непрерывных отображений на связных множествах. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции на связном множестве. Связность линейно связного множества. Линейная связность области.

   3. Дифференцируемые функции нескольких переменных.

      1. Дифференцируемость и дифференциал функции многих переменных. Их геометрический смысл. Частные производные. Существование частных производных у дифференцируемых функций. Достаточное условие дифференцируемости.

      2. Производная по направлению. Градиент. Экстремальное свойства градиента. Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

      3. Производная векторной функции. Уравнение касательной прямой к кривой и касательной плоскости к поверхности. Дифференцирование сложной функции.

      4. Частные производные высших порядков. Достаточное условие независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. Формула Тейлора.

   4. Экстремумы функций нескольких переменных.

      1. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Локальные экстремумы функции многих переменных. Необходимое условие. Достаточные условия экстремума.

      2. Наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой функции на компактном множестве.

   5. Дифференцируемые отображения.

      1. Дифференцируемость отображения. Достаточное условие дифференцируемости. Матрица Якоби. Якобиан. Производная сложного отображения.

      2. Теорема об обратном отображении.

      3. Теорема о неявном отображении.

      4. Условные локальные экстремумы. Метод множителей Лагранжа.

   7. Функциональные последовательности и ряды.

3.1. Числовые ряды

3.1.1. Сходимость и сумма числового ряда. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимые условия сходимости. Критерий Коши.

3.1.2. Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости. Признаки сравнения.

3.1.3. Обобщенный признак сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.

3.1.4. Признак Коши для рядов с монотонными членами. Интегральный признак Коши.

3.1.5. Признаки Раббе и Гаусса.

3.1.6. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак абсолютной сходимости. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

3.1.7. Преобразование Абеля. Признаки Абеля и Дирихле.

3.1.8. Условная и безусловная сходимости. Теорема Римана о перестановках условно сходящегося ряда. Критерий безусловной сходимости. Понятие универсального ряда.

3.1.9. Группировка числового ряда. Умножение сходящихся рядов. Теорема Коши об умножении абсолютно сходящихся рядов. Формальное произведение Коши. Теоремы Мертенса и Абеля.

3.1.10. Двойные числовые ряды. Различные определения сходимости. Случай абсолютной сходимости.

3.1.11. Сходимость бесконечного произведения. Необходимое условие сходимости. Сведение сходимости бесконечного произведения к сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимости.

3.1.12. Гамма-функция. Определение с помощью бесконечного произведения. Формула Эйлера. Основное функциональное тождество.

3.2. Функциональные последовательности и ряды

3.2.1. Поточечная и равномерная сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.

3.2.2. Равномерная сходимость и непрерывность предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда. Пространство . Его полнота.

3.2.3. Равномерная сходимость и интегрируемость предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда.

3.2.4. Равномерная сходимость и дифференцируемость предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда. Пространство . Его полнота.

3.2.5. Степенные ряды. Поточечная сходимость. Радиус и интервал поточечной сходимости. Формула Коши-Адамара.

3.2.6. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы степенного ряда.

3.2.7. Ряд Тейлора. Единственность разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложимости. Ряд Тейлора-Маклорена для функций .

3.2.8. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды в комплексной области. Формулы Эйлера.

3.3. Несобственные интегралы

3.3.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о его непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости.

3.3.2. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле. Интеграл Дирихле.

3.3.3. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

3.3.4. Интегральное представление гамма-функции. Бета-функция. Ее связь с гамма-функцией.

3.3.5. Разложение в бесконечное произведение Вейерштрасса. Формула дополнения для гамма-функции.

3.3.6. Формула Стирлинга.

3.4. Ряды и интеграл Фурье

3.4.1. Евклидово пространство. Ортонормированная система. Задача о наилучшем приближении элемента евклидова пространства по ортонормированной системе. Базисность и замкнутость ортонормированной системы. Ряд и коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

3.4.2. Тригонометрическая система. Ее замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье интегрируемых функций. Сходимость в среднеквадратичном. Равенство Парсеваля.

3.4.3. Тригонометрические ряды Фурье непрерывных функций. Частичные суммы. Ядро Дирихле. Отсутствие равномерной сходимости. Достаточное условие равномерной сходимости.

3.4.4. Равномерная сходимость средних Фейера для непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций тригонометрическими полиномами и алгебраическими многочленами.

3.4.5. Теорема Стоуна-Вейерштрасса.

3.4.6. Упрошенная запись частичной суммы тригонометрического ряда Фурье. Принцип локализации Римана.

3.4.7. Достаточное условие поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

3.4.8. Преобразование Фурье. Косинус и синус преобразования Фурье. Свойства преобразования Фурье. Обратное преобразование Фурье.

3. Кратные и поверхностные интегралы.

5. 1. .4.1. Двойной интеграл и интегралы высшей кратности

4.1.1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши.

4.1.2. Две леммы Дарбу. Эквивалентность двух определений интеграла Римана по прямоугольнику.

4.1.3. Критерий Римана интегрируемости по прямоугольнику. Интегрируемость непрерывной функции.

4.1.4. Множества меры и объема нуль. Их свойства.

4.1.5. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа. Описание множества точек разрыва.

4.1.6. Критерий Лебега интегрируемости по прямоугольнику.

4.1.7. Измеримость множества по Жордану в R². Критерий измеримости. Достаточное условие измеримости.

4.1.8. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости.

4.1.9. Свойства двойного интеграла Римана. Теорема о среднем.

4.1.10. Определение кратного интеграла по параллелепипеду и по измеримой по Жордану области. Мера Жордана.

4.1.11. Теорема Фубини. Вычисление кратного интеграла путем сведения к повторному.

4.1.12. Формула Дирихле-Лиувилля. Вычисление объема n-мерного симплекса и шара.

4.1.13. Криволинейные координаты в Rⁿ. Координатные линии и поверхности. Коэффициенты Ламе. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат. Формула замены переменных в кратном интеграле.

4.1.14. Полярная система координат в R². Двойной интеграл в полярных координатах.

4.1.15. Цилиндрическая система координат в R³. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

4.1.16. Сферическая система координат в R³. Тройной интеграл в сферических координатах.

4.1.17. Сферические координаты в Rⁿ. Их ортогональность. Вычисление объемаn-мерного шара.

4.1.18. Оператор Лапласа в ортогональных координатах. Оператор Лапласа в полярных координатах в R², цилиндрических и сферических координатах вR³.

4.1.19. Кратные несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Абсолютная сходимость. Признак сравнения. Сходимость кратных интегралов .

4.1.20. Геометрические и механические приложения кратных интегралов.

4.2. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности

4.2.1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения.

4.2.2. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в R².

4.2.3. Площадь поверхности в R³. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения.

4.2.4. Поверхностный интеграл 2-го рода. Его связь с поверхностным интегралом 1-го рода. Теорема Гаусса-Остроградского.

4.2.5. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в R³.

4.3. Элементы теории поля

4.3.1. Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки.

4.3.2. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Векторная интерпретация формул Стокса и Гаусса-Остроградского.

4.3.3. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка. Гармоническое поле и уравнение Лапласа. Гармонические функции. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей и уравнение Пуассона.

4.3.4. Вторая формула Грина.

4.4. Дифференциальные формы и их интегрирование

4.4.1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме.

4.4.2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы.

4.4.3. -мерные гладкие поверхности вRⁿ. Площадь поверхности. Площадь поверхности сферы вRⁿ.

4.4.4. Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности.

4.4.5. Общая формула Стокса.

4.4.6. Частные случаи общей формулы Стокса.