1.Расчет докоммутационного режима.

Так как в этом режиме ток i₁(0-)=0, величина сопротивления R₁ не влияет на u_с(0-) и i₃(0-) и они будут иметь те же значения, что и в примере 1, то есть u_с(0-)^:=25 В; i₃(0-)=0,5 А.

2.Расчет установившегося режима.

Так как в цепи действует источник постоянной ЭДС, то u_Ly = 0.

3.Расчет переходного режима.

u_L=u_Ly+u_Lсв=0+ u_Lсв = u_Lсв.

Подставив значение R₁ = 0 в характеристическое уравнение,

составленное в примере 1, получим

LCR₂р²+(СR₂R₃+L)р+R₂+Rз = 0.

Подставив в это уравнение числовые значения, получаем

25.8∙10^-3∙8.6∙10^-6∙50p²+(8.6∙10^-6∙50∙50+25.8∙10^-3)p+50+50=0,

11.094∙10^-6p²+47.3∙10^-3p+100=0.

Корни этого характеристического уравнения равны

При комплексно сопряженных корнях решение и его производная имеют вид:

(12)

(13)

В уравнении (12) А и являются постоянными интегрирования. Подставив в уравнение (12)и(13) 1=0 , получим

(14)

Для определения u_L (0) и u_L’ (0) аналогично примеру 1 составим систему уравнений Кирхгофа, а затем продифференцируем ее по времени:

(15)

(16)

Подставляем в (15) момент времени t=0:

(17)

Подставляем в (17) числовые значения сопротивлений, ЭДС и величины u_с(0)=25В, i₃(0)=0,5, полученные с использованием законов коммутации:

(18)

Решив систему (18), находим: i₂(0)=1,5 А, i₁(0)=1 А, u_L(0)=0.

С учетом соотношений u'_с (0) = и i'₃ (0) =находим:

,

=0/25.8∙10^-3=0 A/c.

Далее подставляем в (16) момент времени t=0:

(19)

Решив систему (19), находим требуемую величину u_L'(0)=116279 В/с. Подставив найденные u_L′(0)=0 и u_L′(0)=116279 в систему уравнений (14), находим постоянные интегрирования А и α

(20)

α=0; А=55.

Решение задачи имеет вид:

(21)

Полученное решение для напряжения u_L представляет собой затухающую синусоиду.

ПРИМЕР 3

В задаче примера 1 найти ток i₁, если e=141∙sin(1000t+30°) В, размыкание ключа Кл1 происходит в момент времени t=0.

1. РАСЧЁТ ДОКОММУТАЦИОННОГО РЕЖИМА

Расчёт цепи рис. 2 произведём с применением комплексного метода. Применим метод двух узлов:

X_L=ωL=1000∙25.5∙0.001=25,8 Ом,

Xc=1/ωC=1/(100∙8.6∙10^-6)=116 Ом.

Рассчитаем комплексные сопротивления и проводимости всех ветвей цепи

рис.2.

Ом

Ом.

См;

В

Мгновенные значения u_c(0-) и i₃(0-)равны:

u_c(0-)=25∙√2∙sin(1000t-8˚) B,

i₃(0-)=0,59∙√2∙sin(1000t+6˚)A.

Получаем независимые начальные условия:

U_c(0)=25∙√2∙sin(-8˚)= -5 B,

I₃(0)=0,59∙√2∙sin6˚=0,09 A.

2. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА.

Расчет цепи рис.3 произведем с помощью комплексного метода по аналогии с расчетом докоммутационного режима.

i_1y=0,327∙√2∙sin(1000t+83˚)=0,46∙sin(1000t+83˚)A.

3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА.

i₁ =i_1y+i_1cв =0,46∙sin(1000t+83˚) +i_1cв

Характеристическое уравнение и его корни получаются такими же, как и в примере №1, так как в схему для свободных токов источник ЭДС не входит: p₁=-1000c^-1, р₂=-3000c^-1.

Подставив в эту систему уравнений t=0, получим:

(22)

Определяем постоянные интегрирования А₁и А₂. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи рис.3

(23)

Подставляем в (23) момент времени t=0:

(24)

e(0)=141∙sin30˚=70,5B, u_c(0)=-5B, i₃(0)=0,09 A:

(25)

Решив систему (25), находим: i₁(0)=0,47A,

i₂(0)=0,56А; u_L(0)=42,5B.

Продифференцируем по времени систему уравнений (23):

(26)

Подставляем в систему уравнений (26) момент времени t=0, числовые значения сопротивлений,

(27)

Решив систему (27), находим .

Подставляем полученные значения в систему уравнений (22):

(28’)

(28)

Решив систему уравнений (28), находим:

А₁= -0,0585; А₂=0,0715.

Решение задачи имеет вид:

Следует заметить, что при действии в цепи источника синусоидальной ЭДС переходный процесс существенно зависит от момента коммутации.ПРИМЕР 4.

Альтернативой классическому методу расчёта переходных процессов является операторный метод. Рассмотрим порядок расчёта этим методом для электрической цепи и исходных данных, приведенных ранее в примере 1.

1.Составим операторную схему замещения (рис.5), включающую в себя внутренние ЭДС, которые учитывают независимые начальные условия и , определенные при расчёте докомутационного режима в примере 1.

Рис.5

С помощью этой схемы запишем уравнения цепи, воспользовавшись любым известным методом. Например, уравнения контурных токов I_A(p) и I_B(р) для схемы рис.5, в которые в явном виде входит ток I₂(p), имеют следующий вид:

Здесь

2. Решаем уравнения для I₂(p). Предварительно их можно упростить. Вычтем уравнение (30) из (29) и умножим уравнения на pС или p.

Получим:

Применим способ определителей:

3. Применим теорему разложения в форме:

Корни многочлена F₂(p) были найдены ранее в примере 1:

P₁=-1000 c^-1; p₂=-3000 c^-1

Подставим в выражение (37) значение p, равные корням p₁ и p₂:

;

Подставим значения p₁ и p₂ в выражение (36), вычислим:

;

Подставим в выражение (34) p=0, получим

Из выражения (33) видно, что F₂ (0) = R₂ + R₃ =100 Ом.

Подстановка вычисленных величин в выражение (36) приводит к следующему результату:

Выражение (12) и (38) для тока i₂ полностью совпадают, что является подтверждением правильности полученных результатов

Сравнение трудоёмкости применения классического и операторного методов расчёта переходных процессов позволяет сделать выбор в пользу того или иного метода.

Ниже приводится несколько примеров, позволяющих закрепить полученную информацию.