Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика контр раб №2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

298.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Y 4e 4x Ax3 Bx2 e 4x 3Ax2 2Bx

e 4x 4Ax3 x2 4B 3A 2Bx .

Y 4e 4x	4Ax	3 x2 4B 3A 2Bx e 4x (12Ax2 2x 4B 3A
2B) e 4x	16Ax3 x2 16B 24A x 16B 6A 2B .
Подставив эти значения в наше уравнение, получим
e 4x 16Ax3 x2		16B 24A x 16B 6A 2B 8e 4x ( 4Ax3
x2 4B 3A		2Bx) 16e 4x Ax3 Bx2 2xe 4x .

Таблица 3. Частное решение неоднородного уравнения

Вид

правой

части

Вид частного решения

неоднородного

дифференциального

уравнения

f x eax Pn x ,

y xr eax Qn x , где

Pn x – многочлен степени

0, если a не является корнем

характерист. уравнения

1,если a равно одному корню

характерист. уравнения

2, если оба корня характерист.

уравнения равны a

Qn x - многочлен степени n с

неопределёнными

коэффициентами

f x eax

P x cos bx

y xr eax

x cosbx Z

x sinbx

0, если a bi не является корнем

Qm x sinbx

– многочлен степени

характерист. уравнения

n ,

1,если a bi равно одному корню

Qm x

характерист. уравнения

–

многочлен

равно наибольшей из степеней n

степени

Сократим на e 4x и сгруппируем члены со степенями: x3 , x2 , x, x0

x3 16A - 32A + 16A + x2 16B - 24A - 32B + 24A + 16B + +x -16B + 6A + 16B + 2B = 2x,

или 6Ax + 2B = 2x .

Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, при одинаковых степенях x . Получаем систему уравнений для определения A, B .

6A 2,				1
			A		,
			A	3	,
	2B	0.		3
	2B	0.
			B 0.

Итак, Y e 4x 1 x3 .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y e 4x c1 c2x e 4x 1 3 x3 , отсюда

y 4e 4x c1 c2x e 4x c2 4e 4x 1 3 x3 e 4x x2 .

Подставляя в эти выражения начальные условия x 0, y 1, y 2 , найдём c1 , c2 .

1 c1 ,		c1 1,

2 4c1	c2 .	c2 6.
Итак, искомое решение имеет вид
y e 4x 1 6x e 4x 1			x3 .
		3

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

y 6y 13y 4 sin 5x ,
удовлетворяющее начальным условиям y 0 0,235;	y 0 0 .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y y0 Y , где y0 – общее решение однородного уравнения

y 6y 13y 0 ,

которое определяется по табл. 2, а Y – частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 3.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

			k 2 6k 13 0 .
Его корни k1,2	6			6				6 4i	3 2i .
			36 52			16
		2			2
							2
Согласно таблице 3 3, 2 , то есть

y0 e 3x c1 cos 2x c2 sin 2x .

Для определения Y	используем табл. 3. Так как f x 4 sin 5x ,
то a 0, b 5, P0 x 0, Q0 x 4, r 0 . Следовательно,
	Y A cos5x B sin 5x .
Для определения	A, B подставим Y в первоначальное

уравнение

Y 5A sin 5x 5B cos5x , Y 25A cos5x 25B sin 5x .

Тогда уравнение примет вид

25A cos5x 25B sin 5x 6 5A sin 5x 5B cos5x

13 A cos5x B sin 5x 4sin 5x.

Приравнивая коэффициенты при cos5x и sin 5x в левой и правой частях этого уравнения, получим систему

12A 30B 0,			A	30	B	5	B,	30	5	B 12B 4,	B 0,115,

	12B	4.		12
30A					2			2

A 5 0,115 0,046. Y 0,115 cos5x 0,046sin 5x .

Общее решение нашего уравнения имеет вид

y e 3x c1 cos 2x c2 sin 2x 0,115 cos5x 0,046 sin 5x .

Отсюда

y 3e 3x c1 cos 2x c2 sin 2x e 3x 2c1 sin 2x 2c2 cos 2x

0,575 sin 5x 0,23cos5x.

Найдём из начальных условий y 0 0,235;		y 0 0 постоянные
c1 , c2 .
0,235 c1 0,115,	c1	0,35,
		0,64.
0 3c1 2c2 0,23.	c2	0,64.

Итак, искомое решение имеет вид

y e 3x 0,35 cos 2x 0,64 sin 2x 0,115 cos5x 0,046 sin 5x .

Контрольная работа №2

Интегралы.

1-30. Вычислить неопределённые интегралы.


1.				dx
	a)					,
		3
			3x 1
2.	a)				dx				,
				x ln2 x
3.	a)			xdx				,

				x4 1
4.	a)				dx				,
				4x2 7
5.	a)	x cos x2 dx,
6.	a)						cosxdx,
					sin x

b) arccos x dx.

b)x 1 dx. x 5

dx.

3 x

x 3 1

1 x

dx.

1 x

dx.

x 12

x 3

7.a)

8.a)

9.a)

10.a)

11.a)

12.a)

13.a)

14.a)

15.a)

x2 x3 5 dx,

2ln x 3 3 dx, x

xdx

4x2 7,

e2xdxe4x 5,

e 2x 1dx, 2x 1

x x2 1 2 dx,

cos sin x cosxdx,

sin xdx

4 cosx

3 ln 2x dx , x ,

b)		x 1	dx .

	1	x 1 3
	1	x 1 3

b)arcsin x dx.

b)x arctgx dx .

dx .

x 3

x 2

dx .

x 2

2 x 2

sin2

dx .

b)1 x 4 dx . x 5

b)x 2 ln x dx .

b)x2 arcsin x dx .

16.a)

17.a)

18.a)

19.a)

20.a)

21.a)

22.a)

23.a)

24.a)

25.a)

26.a)

27.a)

28.a)

29.a)

30.a)

x ex 3dx,

2dx

4x x ln x, dx

						,
1 cos6x
sin 2x dx							,

1 cos 2x
	x2dx
			,


	x3 5
		4dx
					,


	2 6x2
cosx dx				,

3 sin2 x

x e x 2 dx,

sin x dx,

		x
x		2dx
				,

	x
	x	6 1
cosx dx					,

3 3 5 sin x
3 3 5 sin x
	dx
			,
x ln3 x			,
				dx			,
arccosx 5

						1 x2

arctg3x 1 x2 ,

arcsin3 x dx ,

1 x2

b)arctgx dx .

b)x2 e3x dx.

b)		x	dx .

	sin2 x
b)	x sin x				dx .

	cos2 x
b)		4 x					dx .


		x 1 7
				dx .
b)		x 2

	x 11
b)	1					dx .

		3 ex

b)ln2 x dx . x2

e3x

b) dx .

1 ex

b)x2 e 2x dx .

b)		1 x	2	dx .
b)	ln x	1 x		dx .

b)x2 cosx dx .

b)x ln2 x dx .

b) dx . x 1

b) x2 sin 2x dx .

31-60. Задачи на геометрические приложения определённого интеграла

31. Найти площади частей, на которые круг x2 y2 8 делится

параболой y 1 x2 .

32.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y x x 1 2 и

осью абсцисс Ox .

33.Найти длину дуги параболы y x2 от точки x 0 до точки

x1 .

34.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями y 1 x2 и 2x 2y 3 0 .

35. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y 0 и y sin2 x, 0 x .

36.Найти площадь фигуры, ограниченной параболами x2 8y 8

иx2 24y 40 .

37.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y ln x и

прямыми x e,

x e2 ,

y 0 .

38.

Найти длину дуги кривой

3 x

между точками её

пересечения с осью Ox .

39.

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси

Ox фигуры, ограниченной линиями y

y 0,

x 1.

40.

Найти длину дуги кривой

y ln x от

точки x

до точки

x 8 .

41. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной


линией y x x 2 и осью абсцисс Ox .
42.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной линиями y x ex ,		x 1,	y 0 .
43.	Найти площади фигур, на которые парабола		y2 6x делит
круг x2 y2 16 .

44.	Вычислить площадь фигуры, заключённой между									линией
y		1	и параболой y 0,5x2 .
y		1 x2	и параболой y 0,5x2 .
		1 x2
45.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями y 0,5 x 2 2 и y 2 .
46.	Найти длину дуги кривой x			1	t6 ,	y 4		1	t4 между точками
46.	Найти длину дуги кривой x				t6 ,	y 4			t4 между точками
			6				4
её пересечения с осями координат.
47.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной линиями y e2x 1,							y e x 1,			x 0 .
48.	Найти длину дуги кривой y ln 1 x2 от точки x 0 до точки
x 0,5 .
49.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y ln x и

yln2 x .

50.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y arcsin x и

прямыми x 0,		y	.
прямыми x 0,		y	.
		2		x et cos t,	y et sin t
51. Найти	длину	дуги	кривой	x et cos t,	y et sin t	от t 0	до
точки t 1.
52. Найти	объём		тела,	образованного		вращением
параболического сегмента с				основанием 2a и		высотой	h
вокруг высоты.

53.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 x 1

иy2 9 x .

54.

Вычислить площадь

фигуры, ограниченной

линиями

y sin x,

y cosx,

y 0,

x 0,

55.

Найти длину дуги астроиды x a cos3 t,

y a sin3 t,

0 t

y2 x3

56.

Найти длину дуги полукубической параболы

от

начала координат до точки M 4,8 .

57.

Фигура ограничена кривой

x a cos t,

y a sin t,

0 t

осями координат Ox, Oy . Найти объём тела вращения.

58.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

y 2

3 и осью Oy .

59.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

кривыми

y ex 1,

y e2x 3,

x 0 .

60.

найти

площадь

фигуры,

ограниченной

кривыми

y 1,

y 4,

y 2x,

Задачи № 61-90. Задания: а) представить комплексное число в тригонометрической форме, б) представить комплексное число в показательной форме; в) выполнить указанные действия над комплексными числами, г) вычислить корень или

решить уравнение.

61.а) 1 i , б) 3 33 i ,

62.а) 1 i б) 2 2i , в)

63.	а) 1	i б)	7		7
			2
				2	3

64.	а) 1	i , б) 5 5i ,

в)

7 5i

i 1 i , г) 4

;

1 i

1 2i

7 2i

i 11 , г) 4

i ;

2 i

i , в)

i 18 , г)

;

1,2 1,2i

1 2i

в)

1 i

i 4 , г) 3

;

1 i

65.	а) 2i , б)									1			3		i ,		в)							12	i 2 i 2 , г) 4 1										1				i ;
										2			2

																								5 i								3
66.	а)		1					1	i , б)				1						i , в) i 23									17 6i		, г)							;
			1					1									3											17 6i				7 7i
																	3															7 7i
	2				2																								3 4i
																		4
																											3
67.	а)						i , б) 4i в)																						, г) 3							i ;
					3																										2			6
					3													1													2			6
																		1					3 i			i
												i , б)				2						2i в)											i 1					, г)
68.	а)																			3						3i 2 i 9														5		;
					2						2
																																									i 1
																		3																							i 1
																		3																i 1
69.	а)			i , б)																	i , в) 0,2 0,3i 0,5 0,6i i 26 ,
69.	а)	3		i , б)										2					6		i , в) 0,2 0,3i 0,5 0,6i i 26 ,

	г) 3						i ;
	г) 3					3	i ;

70.а) 0,5 0,5

i , б) 1 i , в) 3

i 3

i i 33 , г)

4 1

i ;

71.

а)

i б)

2i , в)

1 i

, г)

;

2 2i

1 i

72.

а) 3

3i , б)

i , в) i 37

7 5i

, г) z4 1

i 0;

1 2i

73.а) 0,5 0,5i , б)

2 в) i 25

3 4i

, г) z2

7 7i 0 ;

4 3i

, г) z6

74.

а) 4i , б) i , в)

i 0 ;

1 3 3 i

75.

а) 0,7 0,7i , б) 1 i в)

1 i2

3 i , г) z4 1

i 0 ;

1 i 2

76.

а) 1

i , б)

1 i , в) i 44

1 i

, г) z4

i 0 ;

77.

а) 2 2i , б)

1 i , в) 0,5 0,5

i 2

0,5

i 35 ,

г) z3

i 0 ;

7 i

78.

а) 3i , б)

3 i

в)

, г) z5 1 i 0 ;

79.

а) 1,2 , б) 2i , в) 2

i 2

1 i

, г) z4

i 0 ;

i , б)

80.

а)

3 3i , в) i 17

, г) z2 2 2i 0 ;

3 i

81.

а)

i , б)

3i , в)

2 i

1 i6

i 2

, г) z3

0.;

3 i

i 13

i 1

3 8i

82.

а)

3 i , б) 2 2i , в)

0 ;

2 i

1 , г) z

																															29
83.а)		2					2 i , б)																							i , в) 1 2i i 21													5 i						, г) z3
					3																2 2																																					i 0 ;
					3																							3
																												3
	3																																											i
84.	а) 5i , б)										3 3											i , в) i 23													17 6i						, г) z4							i 0 ;
																				3															17 6i										3
																				3																									3
																																			3			4i
85.	а) 3 3										i , б) 2 2i , в)																						12				i 2 i 2 , г) z3																		i 3 0 ;
									3																								12																			3
									3																																											3
																																	5 i
86.	а) 1							i , б)								7							7			i , в)						1 i					i 4 , г) z3																				i 0 ;
						3										7							7									1 i															6							2
						3										2																															6							2
																2				2			3									1 i
87.	а) 2						2										i , б)						5 5i , в)															5		i 18 , г) z3 1																					i 0 ;
					2										2																							5																					3
					2										2																																												3
																																				1 2i
			1				1											1							i , в)						7 2i
88.	а)									i , б)														3														i 11 , г) z4													i 1 0 ;
																								3																										3
																2							2									2 i																		3
	2			2												2							2									2 i
89.	а) 8i , б)												1						1		i , в)						7 5i							i 1 i , г) z3																						i 0 ;
													1						1								7 5i																			2							6
																																														2							6
											2					2											1 2i
90.	а)													i , б)							1								i , в) i 22										7 5i			, г) z3						3i												0 .
				2								2													3														7 5i																			3
				2								2													3																																	3
																																							1 2i

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20151.8 Mб163МАРКЕТИНГ- Учебное пособие .pdf
#
10.05.2015219.13 Кб16Маршрутизация.pdf
#
16.03.2016493.17 Кб24МАТЕМ. обработка.pdf
#
10.05.2015357.84 Кб26МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009.pdf
#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf
#
16.03.2016830.37 Кб3Математика.pdf