Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика контр раб №2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

298.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>


y		Для	сокращения		изложения		не
М		говорят:	"точка, соответствующая
		комплексному		числу		x i y ",	а
		говорят просто – "точка x i y ". При
0	х	этом множество всех действительных
		чисел изображается			точками		оси
Рисунок 1		абсцисс, которая поэтому называется
		действительной		осью,		множество
		чисто мнимых чисел			i y	точками оси
		ординат, называемой мнимой осью.
		Заметим, что одна точка мнимой
		оси, а именно начало координат,

изображает действительное число нуль. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Внекоторых случаях удобно считать геометрическим

изображением числа	x i y радиус-вектор точки M(x, y) –
O M x, y .

0 z3

5 x

-2 z2

-5

Рисунок 2

Пример 1. Построить точки

z1 5 5i , z2 2i , z3 5 .

В	дальнейшем, наряду с
представлением		комплексных
чисел	в	декартовых

координатах, полезно иметь их

представление		в обобщенных
полярных координатах.
Рассмотрим			число	x i y ,
которому	на		плоскости
соответствует		точка		M(x, y) .
Ее координаты			в полярной

системе координат , .

Тогда	x cos ,
y	y sin .
M(x; y)

Рисунок 3

Полярный угол числа и обозначается


	z x i y cos i sin
	cos i sin .
x	Полярный радиус
				OM
	называется модулем
	комплексного числа и
	обозначается	z	.

называется аргументом комплексного

Arg z . Тогда

z cos i sin z cos Arg z i sin Arg z .

Эта форма называется тригонометрической формой

комплексного числа.

Модуль комплексного числа определяется однозначно:

z x2 y2 .

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного 2 . Главным значением аргумента называется значение, заключенное в интервале , . Обозначается оно arg z . Таким образом, arg z .

Очевидно, Arg z arg z 2k .

Главное значение аргумента определяется однозначно.

Так как tg arg z y ,

		x
	y			x, y I, IV четвертям,
arctg		,	если
arctg	x	,	если
	y			x, y II четверти,
	y
arg z arctg		,	если
arg z arctg	x	,	если
	x			x, y III четверти.
	y
arctg		,	если
arctg	x	,	если
	x

Тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь вид

z z cos arg z 2k i sin arg z 2k .

Пример 2. Написать в тригонометрической форме комплексное число z 1 i .

Решение.

1 1

2, tg 1,

		arg z arctg 1							3	.
z	1
						4	4
				3			3

-1	z	2	cos		2k	i sin		2k

	0			4			4

Рисунок 4
Пусть	z x i y	z	cos Arg z i sin Arg z . Используя формулу
Пусть	z x i y	z	cos Arg z i sin Arg z . Используя формулу
Эйлера	cos i sin ei ,				получаем	так	называемую
показательную форму записи комплексного числа:
			z	z	ei Arg z .
			z	z	ei Arg z .

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное

число z 1 i .	Решение
y

-1 0

1 1 2,

tg 1,

arg z 3 ,

				3	i 2k i
z	-1	1 i	2 e	3	i 2k i
z	-1	1 i	2 e	4	.
	Рисунок 5
Пример 4. Вычислить e i .
Решение. По формуле Эйлера e i		cos i sin 1 .

3.2. Алгебраические действия над комплексными числами.

Для выполнения алгебраических действий над комплексными числами (№ 91-120) необходимо проработать литературу: [1, т. 1, гл. VI, Â 3, с. 137, 138; 3, т.2, Â 5.3, с. 239-244], где содержатся теоретический материал и практические рекомендации по данной теме.

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с учетом i i 1. При записи результата следует отделить действительную часть от мнимой части, т. е. собрать отдельно члены, содержащие множитель i , и члены, не содержащие множитель i :

x1 i y1 x2 i y2 x1 x2 i y1 y2 ,

x1 i y1 x2 i y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 y1 x2 ,

x1 i y1 x2 i y2 x1 x2 i y1 y2 .

В частности, z z z 2 . Операции сложения и вычитания сводятся к сложению и вычитанию векторов, изображающих эти числа. Отсюда расстояние между точками z1 , z2 z1 z2 .

Пример 5.

z z0 R – уравнение окружности с центром в точке z0

z1+z2

z1–z2

Рисунок 6

и радиусом равным R . Деление на комплексное

число, отличное от нуля, определяется как действие, обратное действию умножения.

Для представления частного в виде Re z i Im z

следует провести простые преобразования, показанные на следующем примере.

Пример 6.	3	i		3	i	1 2i	3	6i	i	2 1		7i	1		7 i .
				3	i	1 2i
	1 2i		1 2i 1 2i					1 4			5			5		5

Для модуля и аргумента произведения и частного справедливы следующие утверждения:

z1 z2

, Arg z1 z2 Arg z1 Arg z2 .

Пример 7. Найти модуль и аргумент произведения z i .



Решение.	z i	z	,	Arg z i Arg z		2k .
					2

Таким образом, умножение на i соответствует повороту вектора

z на угол π ;

Arg

Arg z1 Arg z2 .

Пусть

cos Arg z i sin Arg z .

Тогда z2 z z z 2 cos 2 Arg z i sin 2 Arg z .

Можно доказать методом полной математической индукции, что

для любого целого	n 0 : zn		z		n cos n Arg z i sin n Arg z

(формула Муавра). Формула справедлива и для целых отрицательных n .

Пример 8. Вычислить 3 i 5 .

							y							Решение
															i						2,
														3					3 1
					0					3		x		3					3 1
										3

													arg				i arctg						1		,
							-1		z							3							1


																							3
																							3	6
			Рисунок 7


	3 i		2		cos				2k				i sin					2k		,
	3 i		2		cos				2k				i sin				6	2k		,
								6									6
			5						5											5
		3 i	5		25				5											5
							cos						10k			i sin						10k
							cos		6				10k			i sin				6		10k
									6											6
							1
				3
				3							3 16i .
32						i		16
32						i		16
			2				2
			2				2

Корнем n - ой степени из комплексного числа называется такое число w , для которого wn z .

Используя формулу Муавра, получим

Arg w

Arg z

arg z 2k

k 0, 1, 2, ... , n 1.

Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число кратное 2 , и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными ранее. Итак, корень n - ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример 9.

Найти все значения 3

и построить их.

Решение.

arg 8 ,

8 8 cos 2k i sin 2k ,

3 8 2 cos

i sin

Рисунок 8

								1
k 0, w	1	2	cos		i sin		2			i

				3		3			2

1 i 3 , 2

						2			2			1 i 0 2 ,
k 1,	w2		2	cos				i sin			2
k 1,	w2		2	cos		3		i sin	3		2
						3			3
							4			4		1
																3
																3
k 2,	w	3	2		cos			i sin			2			i			1 i 3 .
k 2,	w		2		cos			i sin			2			i			1 i 3 .
						3			3				2
						3			3				2		2

4.Обыкновенные дифференциальные уравнения

Взадачах № 91-120 при отыскании общего решения дифференциального уравнения первого порядка следует использовать литературу [2, т. 2, гл. VI, Â 3, 4, с. 161 - 166; 4, п. 12.5-12.8, с. 169-277].

Перед решением задач нужно определить тип уравнения и метод решения, при этом можно руководствоваться табл.1.

Пример. Найти общее решение уравнения

y .

sin x

Так как y

то получаем уравнение

y sin x –

уравнение первого типа. Разделяем переменные

sin x dx,

sin xdx, ln

cosx c,

где c – произвольная постоянная. Можно оставить решение в таком виде или выразить y в явном виде

y e cos x c .

Пример. Найти общее решение уравнения y e x y .

Это уравнение второго типа, однородное, следовательно,

делаем подстановку

u, y ux, y u x u . Уравнение примет

вид

u x u eu u,

x eu ,

dx x

Получили уравнение с разделяющимися переменными

e u ln

ln c .

Здесь мы обозначили произвольную постоянную не c , а lnc для удобства записи

e u ln	cx	,	u	y	e


				x

y x

ln cx .

Можно оставить решение в таком виде, а можно y выразить явно

e x ln

ln ln

y x ln ln

Пример. Найти общее решение уравнения y

2y x .

Это линейное

уравнение

P x 2,

Q x x

(табл.1). Делаем

подстановку

y u x v x ,

y u v uv .

Подставив

эти

соотношения в исходное уравнение, получаем u v uv 2uv x . Одну из функций находим из уравнения

uv 2uv 0,	dv	2v 0 ,

	dx

тогда вторая функция u определяется из уравнения u v x . Решая первое уравнение, находим функцию v , то есть

2v,

2dx,

2x,

v e 2x ,

Таблица 1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Тип

Вид уравнения

Метод решения

дифференциального

уравнения первого

порядка

1.С разделяющимися

f1 x f2 y

f1 x dx

f2 y

переменными

2. Однородное

Подстановка

u, y ux ,

приводит к

y u x u

уравнению первого типа

3. Линейное

P x y Q x

Подстановка

y u x v x

приводит к уравнениям

первого

типа

P x v 0,

v Q x

произвольную константу для функции v полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции u

e 2x

dx,

du x e2xdx,

e 2x

x e2x

e2xdx

x e2x

e2x c .

Решение исходного уравнения имеет вид

y uv

xe2x

e2x

2x .

При решении задач № 121-150 используются приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными

коэффициентами, изложенные в литературе [2, т. 2, гл. VI, Â 8, 9, с. 186 - 197; 4, п. 12.11-12.13, с. 279-286].

Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения используется табл. 2, а для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения используется табл. 3.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения


			y 8y 16y 2xe 4x ,
удовлетворяющее начальным условиям y 0 1,							y 0 2.
		Таблица 2. Общее решение однородного уравнения
Вид		общего	решения	Корни		характеристического
однородного уравнения				уравнения
1.	y0	c1ek1x c2ek 2x		k1 ,k 2	– вещественные, k1 k 2
2.	y0	(c1 c2x)ekx		k1 ,k 2	– вещественные, k1 k 2
3.	y0	c1 cos x c2 sin x e x		k1 ,k 2	– комплексные,
				k1 i,		k 2 i

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно

записать в виде y y0 Y , где y0				– общее решение однородного
уравнения			y 8y 16y 0 ,

которое	определяется		по табл. 3, а		Y –	частное решение
неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.
Для определения y0 составим характеристическое уравнение
			k 2 8k 16 0 .		e 4x (c1 c2x) .
Его корни k1 k 2 4 . Следовательно, y0
Так	как	правая	часть	уравнения		f x 2xe 4x , то
Y x2 e 4x Ax B .
Здесь a 4,		Pn x 2x,	r 2 .
			Y e 4x Ax3 Bx2 .

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20151.8 Mб163МАРКЕТИНГ- Учебное пособие .pdf
#
10.05.2015219.13 Кб16Маршрутизация.pdf
#
16.03.2016493.17 Кб24МАТЕМ. обработка.pdf
#
10.05.2015357.84 Кб26МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009.pdf
#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf
#
16.03.2016830.37 Кб3Математика.pdf