Инженерная графика.Задачник

совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией цилиндра. Нужно построить фронтальную проекцию линии пересечения как линию на поверхности сферы.

Построение начинают с характерных точек кривой. Первоначально строят точки на очерковых образующих цилиндра (А и В) и сферы (C и D). Затем строят самую близкую точку Е и самую дальнюю F. Чтобы построить самую высокую точку M и самую низкую N, проводят плоскость через оси вращения заданных поверхностей, в которой и лежат эти точки. Далее строят необходимое количество дополнительных точек.

Пример 2. Построить линию пересечения двух цилиндров

(рис. 5.8).

Вертикально расположенный цилиндр горизонтально проецирующий, но построение точек линии пересечения на фронтальной проекции горизонтально расположенного цилиндра затруднительно.

Для решения задачи преобразуют горизонтально расположенный цилиндр в проецирующий на профильную плоскость. Точки линии пересечения на фронтальной проекции строят по их горизонтальной и профильной проекциям.

Характерными точками линии пересечения цилиндров будут: самыми высокими М и М′, самыми низкими N и N′. Эти же точки являются границами видимости на фронтальной проекции. На чертеже (рис. 5.8) показано построение промежуточной точки К2 по проекциям К3 и К1. Проекции всех других точек линии пересечения строят аналогичным образом.

81

Рис. 5.8

Пример 3. Построить линию пересечения сферы с конусом

(рис. 5.9).

Для нахождения точек линии пересечения, удобно использовать горизонтальные секущие плоскости. Такие плоскости будут рассекать конус и сферу по окружностям. В пересечении этих окружностей определятся точки общие для двух поверхностей – точки линии пересечения.

Чтобы определить диапазон проведения таких плоскостей необходимо построить самую высокую и самую низкую точки линии пересечения. Для этого проводят плоскость Т через ось вращения конуса и центр сферы. Эта плоскость пересечет конус

82

по образующим S1, а сферу по окружности, радиус которой равен радиусу сферы. Искомые точки E и F определятся на пересечении этих линий.

Рис. 5.9

83

Проекции точек E и F определяют вращением секущей плоскости Т вокруг оси конуса до положения параллельного фронтальной плоскости проекций. Строят фронтальные проекции окружности пересечения сферы с плоскостью Т и образующей S1в их новом положении (S21′2 и окружность с радиусом R, проведенная из центра O′2). Точки E′2 и F′2 находятся на пересечении S21′2 с окружностью, проведенной из центра O′2, а по ним строят точки E2 и F2 на фронтальной проекции образующей S212.

Проекции точек E и F можно определить методом перемены плоскостей проекций, проведя новую плоскость проекций параллельно секущей плоскости Т.

Для определения границ видимости линии пересечения на горизонтальной проекции (точек C и D) проводят горизонтальную плоскость Q, проведя ее через центр сферы О. Эта плоскость пересечет сферу по экватору, а конус по окружности радиуса R′. Точки C1 и D1 определятся на пересечении горизонтальных проекций этих окружностей. По горизонтальным проекциям точек C1 и D1 строят их фронтальные проекции C2 и D2, лежащие на фронтальном следе плоскости Q. Все точки линии пересечения, расположенные выше плоскости Q, на горизонтальной проекции будут видимыми.

Для определения видимости линии пересечения на фронтальной проекции определяют горизонтальные проекции точек K1 и L1, которые находятся на пересечении главного меридиана сферы с горизонтальной проекцией линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек (K2 и L2) строятся по принадлежности.

Построение промежуточных точек показано на примере нахождения точек 3 и 4 с помощью горизонтальной плоскости U. Плоскость U пересекает конус и сферу по окружностям, которые проецируются на горизонтальную плоскость проекций без искажения. На пересечении этих окружностей определяют горизон-

84

тальные проекции точек 31 и 41, фронтальные проекции этих точек 32 и 42 находят на фронтальном следе плоскости U.

Пример 4. Построить линию пересечения цилиндра и кону-

са (рис. 5.10).

Задачу целесообразно решать методом концентрических сфер-посредников. Этот метод основывается на теореме: Любая сфера пересекает соосную с ней поверхность вращения по окружностям.

Метод концентрических сфер-посредников применяется при условии, что обе пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения оси которых пересекаются и лежат в плоскости параллельной одной из плоскостей проекций.

Построение начинают с точек пересечения очерковых образующих цилиндра и конуса A, B, C, D. Эти точки определяют границу видимости линии пересечения на фронтальной проекции.

За центр сфер принимают точку пересечения осей вращения заданных поверхностей.

Для определения диапазона изменения величин радиусов сфер, определяют радиусы сфер Rmax и Rmin.

Радиус Rmax равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих заданных поверхностей. В данном примере Rmax = О2А2.

Радиус сферы Rmin определяется как радиус большей из сфер, вписанных в каждую из заданных поверхностей. Для определения радиусов таких сфер из центра сфер О2 проводят перпендикуляры к очерковым образующим каждой из данных поверхностей. Величина большего из полученных перпендикуляров будет соответствовать Rmin. В данном примере Rmin = О212.

Сфера с минимальным радиусом касается поверхности цилиндра по окружности 1-1, а коническую поверхность пересекает по двум окружностям 2-2 и 2′-2′. Точки Е, Е′ и N, N′ пересечения

85

этих окружностей будут точками искомой линии пересечения поверхностей.

Рис. 5.10

Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке О2, при этом радиусы сфер-посредников должны определяться зависимостью

86

Rmax R ≥ Rmin. На рис. 5.10 проведена сфера радиуса R которая пересекает цилиндрическую поверхность по окружностям 3-3 и 3′-3′, а коническую по окружности 4-4. В пересечении этих окружностей найдены точки К, К′ и Р, Р′.

Задача решается на фронтальной проекции. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения, эту линию строят как линию, принадлежащую одной из данных поверхностей. В приведенном примере удобно воспользоваться параллелями конуса, так как они на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажений.

ЗАНЯТИЕ 6 (2 часа)

Раздел 4. Тема 4.6. Решения задач на пересечение геометрических образов общего положения [3,4,6,8,13].

Цель занятия. Приобретение навыков построения линий пересечения геометрических образов общего положения. Решение задач.

Условия задач и упражнений

1. Постройте точку пересечения прямой с плоскостью. Укажите возможные способы решения этой задачи. Определите видимость прямой.

87

αП2

89

5. Построить сечение поверхности плоскостью

αП2 S2

O2

n2

m2

n1

αП1