fizika_gp

151

Продолжение таблицы В.11

152

Продолжение таблицы В.11

153

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

(обязательное)

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Г.1 Погрешности измерения

Любое измерение производят с некоторой погрешностью (отклонением), которая искажает результат измерения и позволяет определить лишь приблизительное значение измеряемой величины.

По характеру проявления погрешности делят на три основных вида: промахи, систематические и случайные.

Промахи – большие погрешности (грубые ошибки), резко искажающие результаты измерения. Они связаны с резким нарушением условий испытаний при отдельном наблюдении (измерении), с ошибками при записи значений измеренных величин и не поддаются учету.

Систематические погрешности – постоянные или изменя-

ющиеся по определенному закону в зависимости от вызывающих их причин. Систематические погрешности возникают в результате конструктивных недостатков измерительных приборов и средств измерения, неправильной их градуировки, установки, неисправности приборов, теоретических погрешностей метода, применения неточных эмпирических формул и др. Такие погрешности можно определить и учесть заранее и исключить из результатов измерения.

Случайные погрешности – неопределенные по величине и знаку, возникающие в результате совокупного действия различных случайных причин. Этот вид погрешностей обнаруживают при многократном измерении одной и той же величины в одинаковых условиях с помощью одних и тех же средств. Числовые результаты, полученные при измерениях, все же несколько отличаются друг от друга. Случайные погрешности нельзя исключить, их влияние на результат измерений следует учитывать методом теории вероятностей и математической статистики.

154

По способу числового выражения различают абсолютные погрешности ∆Х, выраженные в единицах измеряемой величины, и относительные погрешности ε – в процентах или долях от действительного значения. Погрешности вычисляют по формулам:

где X – измеренное значение величины;

Xи – действительное или истинное значение величины.

При выполнении измерения надо стремиться получить значение измеряемой величины возможно более близкое к истинному. Для этого необходимо исключить те погрешности, которые можно, и оценить те из них, исключить которые невозможно.

Предположим, произведено n измерений некоторой величины, истинное значение которой Xи. Измерения были произведены в одинаковых условиях и со всей возможной тщательностью, исключающей вероятность появления как грубых промахов, так и систематических ошибок. Следовательно, полученные в результате n измерений значения величины X1, X2, X3, …, Xn содержат только случайные погрешности ∆Х, которые определяют по формуле (Г.1).

Рассматривая случайные погрешности как один из видов случайных событий вообще, Гаусс установил нормальный закон распределения (рис. Г.1), который определяет собой вероятность (частоту) Р появления в ряду измерений погрешности ∆Х той или иной величины. Кривая показывает, что:

наиболее вероятны случайные погрешности, близкие к

нулю;

по мере увеличения погрешности вероятность ее появления быстро убывает;

вероятность появления случайных погрешностей, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, одинакова;

155

 погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений.

Рис. Г.1 – Кривые нормального распределения

Уравнение кривой для плотности нормального распределения случайных погрешностей имеет вид:

где σ – средняя квадратическая погрешность (отклонение) ряда измерений.

Рассматривая влияние величины средней квадратической погрешности σ на форму кривой (см. рис. Г.1), необходимо отметить, что чем меньше параметр σ, тем кривая более вытянута вдоль центра распределения (σ1 = 1). Так как площадь под кривой остается равной единице, то вытягивание её вверх должно компенсироваться сжатием около центра распределения и более быстрым приближением кривой к оси абсцисс. При увеличении значения средней квадратической погрешности σ кривая становится пологой, растягиваясь вдоль оси абсцисс (σ = 3).

156

Г.2 Оценки погрешностей измерений

Истинное значение Xи измеряемой величины почти всегда неизвестно, поэтому определить случайную погрешность каждого отдельного измерения по формуле (Г.1) невозможно. Если число измерений n достаточно велико, то вместо значения Xи берут наиболее достоверное значение – среднее арифметическое X из полученных значений измеряемой величины, определяемое по формуле

где Х1, Х2, ... Хn – значения, получаемые в результате измерения; n – число измерений.

Среднюю квадратическую погрешность (отклонение) σ

определяют по формуле

Вероятность называют надежностью или доверительной вероятностью, а интервал значений от X – ∆Х до X + ∆Х – доверительным интервалом.

Из выражения (Г.6) следует, что результаты измерений не выходят за пределы доверительного интервала с вероятностью, равной , т.е. чем больше доверительный интервал, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы и надежность будет выше. Следовательно, для характеристики ве-

157

личины случайной погрешности необходимо задавать два значения:

величину доверительной вероятности (коэффициент надежности);

величину погрешности, т.е. доверительный интервал. Предполагаем, что искомая величина Xи лежит в некотором

интервале X + ∆Х, т.е.

где ∆Х – величина абсолютной погрешности, которая появляется при замене истинного значения Xи среднеарифметическим значением X .

Увеличение числа измерений (опытов) увеличивает точность результатов измерений, но не бесконечно. Зависимость достоверности измерений от числа измерений достаточно сложна и может быть учтена коэффициентом Стьюдента t(α,n), который показывает, во сколько раз следует увеличить стандартный доверительный интервал, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую доверительную вероятность (надежность) α. За стандартный доверительный интервал |± S| принимают

158

На практике степень надежности проводимых измерений зависит от их характера. Для большинства обычных измерений можно выбрать доверительную вероятность α от 0,80 до 0,99.

Коэффициента Стьюдента t(α,n), определяют по таблице Г.1.

Г.3 Общий порядок обработки результатов измерений

Результаты измерений (наблюдений, расчетов) подлежат обработке в следующем порядке:

1Вычислить среднее арифметическое значение X по формуле (Г.4).

2Определить значение средней квадратической погрешности σ по формуле (Г.5).

3Определить значение стандартного доверительного интервала S, по формуле (Г.8).

4По выбранному значению доверительной вероятности и по количеству измерений n в таблице Г.1 найти соответствующее

значение коэффициента Стьюдента t(α,n), используя которое вычислить величину абсолютной погрешности ∆Х по формуле (Г.9).

5Вычислить коэффициент вариации Kв по формуле (Г.10).

6Зная X и ∆Х, записать конечный результат измерений в виде выражения (Г.7) и обязательно указать доверительную веро-

ятность (надежность) полученного результата и коэффициент вариации Kв.

Таблица Г.1 – Значения коэффициента Стьюдента t(α,n)

159

Продолжение таблицы Г.1

160

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

(справочное)

ПЛОТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ГОРНЫХ ПОРОД

Таблица Д.1 – Плотность и объёмная масса горных пород