1. Ускорение точки (продолжение)
2. Частные случаи движения точки
1. Ускорение характеризует не только изменение величины скорости, но и изменение ее направления. Очевидно, что быстрота изменения направления вектора скорости, при прочих равных условиях, зависит от степени искривленности траектории. Для количественной оценки этой искривленности вводится понятие кривизны.
Пусть вектор
скорости
при перемещении из точкиМ
на расстояние S
повернулся на угол (рис.
2.13).
Рис. 2.13. Определение кривизны кривой
Средней кривизной
на этом участке траектории называется
отношение kср
=
/S.
Предел этого отношения при 
называется кривизной траектории в точкеM,
а величина обратная кривизне, называется
радиусом кривизны.
.
(2.15)
(2.16)
Вычислим производную
единичного вектора
по времени -
.
Для определения модуля производной
отложим из одного центра векторы
и
(рис. 2.14). Учитывая, что изменение
единичного вектора
‚
равно основанию образовавшегося
равнобедренного треугольника, получаем:
Рис. 2.14. К определению величины и направления вектора dт/dt
Из рис. 2.14 видно,
что при стремлении t
к нулю, углы при основании треугольника
стремятся к прямым углам и, следовательно,
вектор
направлен перпендикулярно вектору
‚ внутрь траектории (т.е. по главной
нормали). С учетом этого:
.
(2.17)
Перейдем к выводу формул, определяющих ускорение точки при естественном способе задания движения. Согласно (2.10) и (2.11), имеем:
.
(2.18)
Первое слагаемое в правой части (2.18) направлено по касательной к траектории и называется касательной составляющей полного ускорения:
,
.
(2.19)
Если
,то касательное ускорение
направлено в сторону увеличения дуговой
координаты S
(т.е. совпадает по направлению с вектором
).
Второе слагаемое в правой части выражения
(2.18) называется нормальной составляющей
полного ускорения , так как согласно
(2.15), (2.16) и (2.17):
,
,
.
(2.20)
Итак, ускорение при естественном способе задания движения определяется как геометрическая сумма (рис. 2.15) его касательной и нормальной составляющих:
,
.
(2.21)
Рис. 2.15. Определение полного ускорения точки
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, нормальное ускорение - по направлению. Отметим случаи, когда равны нулю отдельные составляющие ускорения.
Касательное ускорение W = dV/dt равно нулю при равномерном движении ( V = const) и в точках траектории, где величина скорости достигает своего минимального или максимального значения (dV/dt)=0.
Нормальное
ускорение Wn
= V2/
равно нулю при прямолинейном движении
и в точках перегиба траектории (когда
),
а также в моменты смены направления
скорости на противоположное (когда V
= 0).
2. Частные случаи движения точки
Все выведенные выше формулы справедливы для любого движения точки. Рассмотрим теперь два важных частных случая - равномерное и равнопеременное движение.
Равномерным называется движение точки с постоянной по величине скоростью, т.е. когда V = const. Выведем уравнение равномерного движения.
Согласно (2.10) V = dS/dt или dS = V dt. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что V = const, получаем закон равномерного движения:
.
(2.22)
Равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) называется движение с постоянным по величине касательным ускорением (W= const). Получим формулы для такого движения. Имеем:
,
,
,
- закон изменения
скорости. (2.23)
Подставляя вместо V = dS/dt и интегрируя полученное выражение, находим закон или уравнение равнопеременного движения:
,
,
,
.
(2.24)
Пример. Точка движется по окружности радиуса R равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный оборот за T секунд. Определить модули скорости и ускорения точки в конце этого промежутка времени.
Решение. Так как по условию задачи движение точки равноускоренное, воспользуемся формулой (2.24) для определения касательного ускорения точки:
.
Подставляя S = 2R, t = T и V0 = 0 , определяем W:
.
Зная W , определяем скорость точки в момент времени T по формуле (2.23):
.
Нормальное ускорение точки в момент времени T будет равно
.
Полное ускорение точки определяем по формулу (2.21):
.
Лекция 13
Вопросы