ftd

Система неопределенная, т.к. состоит из восьми уравнений и имеет девять переменных, поэтому потенциалу u1 задали значение произвольно: u1 0.

Значения потенциалов запишем в таблицу рядом с запасами или запросами соответствующих поставщиков и потребителей.

Для всех незаполненных клеток таблицы проверим условия (ii)

Если неравенство верное, то в соответствующей клетке в правом нижнем углу поставим знак «+», иначе – запишем число ij , равное

ij ui vj cij.

Итак, начальное опорное решение не является оптимальным, поскольку для клетки 2;1 условие (ii) не выполняется, 21 1.

Перейдем к новому опорному решению. Для клетки 2;1 построим цикл (ес-

ли такого типа клеток несколько, то выбираем ту, в которой наибольшее значениеij ): 2;1 , 1;1 , 1;2 , 2;2 . В угловых точках цикла расставим поочередно

знаки «+» и «–», начиная с «+» в клетке 2;1 . Величина груза , перераспреде-

71

ляемого по циклу равна наименьшей из перевозок в клетках цикла, отмеченных знаком «–»

min 190;100 100.

Вклетки цикла, отмеченные знаком «+» добавляется груз , из клеток, отмеченных знаком «–», убавляется такой же по величине груз. Так, осуществляя

сдвиг по циклу на величину , получим второе опорное решение X2

Проверим это решение на оптимальность. Для чего, аналогично предыдущему решению, найдем потенциалы и проверим выполнение условий (ii):

Условия (i) и (ii) выполняются, значит, второе опорное решение является оптимальным. Вычислим значение целевой функции на этом решении

F 2 90 3 190 1 150 2 100 3 220 5 10 5 210 0 160 2950.

Ответ: общая стоимость перевозок составит Fmin 2950 ден.ед. при плане

ся 160 единиц товара.

72

Задача 3.5. Изготовление некоторой продукции в производственном объединении можно осуществить двумя технологическими способами. При I спо-

собе изготовление x1 изделий требует затрат, равных a2x12 a1x1 a0, а при

II способе затраты на изготовление x2 изделий составляют b2x22 b1x2 b0 .

Составить план производства продукции, согласно которому должно быть произведено d изделий при наименьших общих затратах.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

73

Пример 3.5

Изготовление некоторой продукции в производственном объединении можно осуществить двумя технологическими способами. При I способе изго-

товление x1 изделий требует затрат, равных x12 3x1 12, а при II способе затраты на изготовление x2 изделий составляют x22 5x2. Составить план

производства продукции, согласно которому должно быть произведено 19

изделий при наименьших общих затратах.

Решение

Составим математическую модель данной задачи. Согласно условию, затраты на производство продукции двумя технологическими способами составят

F x12 3x1 12 x22 5x2,

при этом должно быть произведено точно 19 изделий, значит, необходимо выполнение условия

x1 x2 19.

Количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным и дробным, поэтому

x1 0, x2 0, x1, x2 – целые.

Итак, получаем следующую математическую задачу: среди всех целых неот-

рицательных решений x1;x2 , удовлетворяющих условию x1 x2 19, требу-

ется найти такое, при котором функция F принимает минимальное значение. Данная задача относится к задачам нелинейного программирования, т.к. целе-

вая функция в условии не является линейной. Используя геометрическую интер-

ции F увеличиваются, поэтому необходимо определить общую точку прямой и окружности такую, что радиус окружности при этом минимален. В этом случае значение целевой функции так же будет минимально.

Проводя из точки O окружности разных радиусов, видим, что целевая функция принимает минимальное значение в точке A – точке касания окружности с прямой l (рис. 12).

74

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2006. – 448 с.

2.Виленкин, Н.Я., Потапов, В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей

сэлементами комбинаторики и математической статистики: учеб. пособие / Н.Я. Виленкин, В.Г. Потапов. – М.: «Посвещение», 1979. – 112 с.

3.Гаврилов, Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике: учеб. пособие / Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко. – 3-е изд., перераб. –

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 416 с.

4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для втузов / В.Е. Гмурман. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1979. – 400 с.

5.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 4-е изд., доп. – М.: Высш. школа, 1972. – 368 с.

6.Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.И. Игошин. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2006. – 304 с.

7.Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.И. Игошин. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 448 с.

8.Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с.

9.Красс, М.С., Чупрынов, Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – 5-е изд., испр. и

доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 720 с.

10.Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под общ. ред. В.И. Ермакова.– М.: ИНФРА-М, 2007. – 656 с.

11.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 575 с.

12.Шикин, Е.В., Чхартишвили, А.Г. Математические методы и модели в управлении: учебное пособие / Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. – 2-е изд., испр. –

М.: Дело, 2002. – 440 с.

76

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Южно-Уральский государственный университет

Международный факультет Кафедра «Общеобразовательные дисциплины»

Семестровая работа № 4 по курсу

«Математика»

Выполнил(а): студент(ка) гр. МН – ________

группа

_______________________________________

специальность

_______________________________________

ФИО

Вариант № _____________________________

Проверил(а):____________________________

Должность

_______________________________________

ФИО

Регистрационные данные: Дата_______ Дата_______ Дата_______

Номер _____ Номер _____ Номер _____

Челябинск 20____

77

Приложение 2

Результаты проверки семестровой работы студента(ки) гр. МН – _____________

______________________________________________________________________

78

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………..………… 3

Раздел I. Дискретная математика………………………………..………………... 5

Раздел II. Теория вероятностей и математическая статистика.………..………... 21

Раздел III. Математическое программирование ………………..……………….. 47

Библиографический список……………………………………………………….. 76

Приложения…...……………………………………………………………………. 77

79