ДИНАМИКА

n

Величина M mk называется массой системы.

k 1

Точка С пространства, радиус-вектор которой

1 n

rC M mk rk k 1

называется центром масс системы.

В однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Иногда центр масс называют центром инерции.

К о о р д и н а т ы ц е нт р а м а с с :

При движении системы Mk n точек центр масс будет также двигаться.

Скорость центра масс:

k 1

называется статическим моментом механической системы относительно центра О.

Отсюда видно, что если центр О совпадает с центром масс, то статический момент равен нулю.

O C SO SC 0

10

Выражения

называют статическими моментами системы относительно координатных плоскостей:

Очевидно, что

M xc SOyz , M yc SOxz , M zc SOxy .

Если xC , yC , или zC равны нулю, то и соответствующий статический момент равен нулю.

Рассмотрим твёрдое тело . Выделим в нем элементарный элемент массой dm . Пусть r радиусвектор этого элемента, его коорди-

наты x, y,z .

Тогда масса твёрдого тела

M dm .

Радиус-вектор центра масс

Рис. 2.1.2

rc M1 r dm.

Координаты центра масс

Скорость и ускорение центра масс твёрдого тела найдутся по формулам:

vC M1 v dm , aC M1 a dm ,

Здесь v и a – скорость и ускорение произвольной точки тела.

Статические моменты твёрдого тела запишутся так:

11

2.2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

Положение центра масс не может полностью характеризовать распределение масс М.С. и Т.Т., вследствие чего при изучении динамики М.С. вводится характеристика распределения масс – момент инерции данного тела (системы) относительно точки, оси или

плоскости.

M k , xk , yk ,zk – её координаты. rk , её радиус-вектор.

Моментом инерции М.С. относительно центра (полярным моментом инерции) называется сумма произведений масс точек М.С. на квадраты их расстояний до центра.

n

IO mk rk2 .

k 1

12

б . О с е в о й м о м е нт и н е р ц и и

Осевым моментом инерции точки относительно оси l называют произведение массы точки на квадрат расстояния от точки до оси l :

Il m h2 .

Осевой момент инерции часто представляют в виде произведения массы М.С. на квадрат некоторой длины i . Например

Iz M i2

Величина i называется радиусом инерции тела относительно данной оси. Радиус инерции тела равен тому расстоянию оси, на которое нужно поместить точку с массой равной массе тела, чтобы её момент инерции относительно оси был равен моменту инерции всего тела.

Для тел с непрерывным распределением массы осевые моменты инерции

13

в . Ц е нт р о б е ж н ы й м о м е н т и н е р ц и и

Центробежные моменты инерции (произведения инерции) учитывают зна-

Центробежным моментом инерции М.С. относительно какой-либо пары координатных осей называют сумму произведений масс точек М.С. на произведение их координат по этим осям

Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными и равными нулю, тогда как осевые и полярные моменты только положительны.

Для однородных твёрдых тел моменты инерции определяются по следующим формулам

Г л а в н ы е и ц е нт р а л ь н ы е о с и и н е р ц и и

Ось координат являются центральной осью инерции М.С., если она проходит через центр масс тела. Ось декартовых координат является главной осью инерции М.С. в данной точке, если оба центробежных момента инерции, содержащие в индексах знак этой же оси равны нулю.

Если Ixz I yz 0 , то z – главная ось инерции.

Если I xy I xz 0 , то x – главная ось инерции.

Если I xy I yz 0 , то y – главная ось инерции.

14

кости симметрии тела с началом в этой плоскости.

2.3. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ.

ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

Теорема. Момент инерции тела Iz1 относительно некоторой оси z ра-

вен сумме момента инерции IzC тела относительно оси zC , проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояний между осями:

Iz1 IzC Md 2

где М – масса тела, d – расстояние между двумя параллельными осями. Осевые моменты инерции

15

Выделим частицу массой dm , расстояние от частицы до центральной оси z равно радиусу. Осевой момент инерции кольца относительно оси z :

Однородный тонкий диск массой M , радиусом R

Выделим в теле диска однородное тонкое кольцо текущим радиусом r , толщиной dr .

Масса элементарного кольца

Осевой момент инерции всего диска относительно оси z после интегрирования по r

17

Так же, как и для тонкого кольца будем иметь:

моменты инерции которых относительно этих осей можно считать по формуле (3.1), получим:

18

3.Общие теоремы динамики

3.1.КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Количество движения есть первая, векторная мера механического движения. Для материальной точки массы m , движущейся в пространстве Oxyz со скоростью v , количество движения точки есть вектор, равный произведению массы точки на её скорость (рис. 3.1.1):

q m v .

Проекции количества движения на координатные оси соответственно равны:

qx m vx m x, qy m v y m y, qz m vz m z.

Р

Рис. 3.1.1 Рис. 3.1.1

Рассмотрим движение механической системы Ak n материальных точек в пространстве Oxyz .

Пусть точка Ak , радиус-вектор которой rk и масса mk , движется со ско-

ростью vk . Количество движения этой точки qk mvk (рис. 3.1.2).

Количеством движения механической системы называют сумму количеств движений точек системы:

19