Сборник задач по ТеорВер 2003
.pdf21.Ведётся артиллерийская стрельба по цели из одного орудия. Средняя дальность полёта снаряда – 1200м. Определить, какой процент выпущенных снарядов даст перелёт от 0 до
60метров, если дальность полёта снаряда – случайная величина, распределённая по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 40 м.
22.По выборке А решить следующие задачи:
a.составить вариационный ряд;
b.вычислить относительные и накопленные частоты;
c.составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d.вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
•выборочную среднюю;
•выборочную дисперсию;
•стандартное выборочное отклонение;
•моду и медиану;
e.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А: |
4 |
3 |
3 |
8 |
5 |
7 |
|
5 |
4 |
7 |
9 |
6 |
3 |
|
7 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
5 |
4 |
4 |
4 |
5 |
|
5 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
|
3 |
7 |
2 |
4 |
4 |
5 |
|
6 |
6 |
6 |
5 |
4 |
5 |
|
7 |
3 |
5 |
4 |
5 |
2 |
|
6 |
5 |
4 |
6 |
2 |
3 |
|
4 |
4 |
5 |
7 |
6 |
3 |
23.По выборке В решить следующие задачи:
a.составить группированный вариационный ряд;
b.построить гистограмму и полигон частот;
c.вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
•выборочную среднюю;
•выборочную дисперсию;
•стандартное выборочное отклонение;
•моду и медиану;
d.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности; |
|
|
|
|||||
Выборка В: |
78 |
54 |
37 |
65 |
63 |
51 |
61 |
48 |
|
80 |
90 |
74 |
67 |
69 |
61 |
69 |
57 |
|
89 |
96 |
73 |
69 |
51 |
52 |
60 |
68 |
|
50 |
70 |
88 |
69 |
83 |
95 |
92 |
49 |
|
68 |
62 |
77 |
87 |
67 |
63 |
87 |
91 |
|
80 |
70 |
83 |
60 |
84 |
83 |
76 |
62 |
|
58 |
56 |
55 |
51 |
64 |
80 |
54 |
63 |
|
56 |
44 |
70 |
38 |
68 |
44 |
70 |
52 |
|
79 |
72 |
62 |
64 |
68 |
69 |
76 |
77 |
|
77 |
74 |
81 |
73 |
75 |
77 |
47 |
49 |
Вариант 14.
1.В бригаде 12 женщин и 8 мужчин. Нужно выбрать делегацию на конференцию, состоящую из трёх человек. Найти вероятность того, что при случайном выборе делегации
вней окажутся 1 женщина и двое мужчин.
2.Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 10.
3.Слово «КАСАТЕЛЬНАЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) КАСАТЕЛЬНАЯ; б) КАНАТ.
4.В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
a.4 белых шара;
b.меньше чем 3 белых шара;
c.хотя бы один белый шар.
5.Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности следующих событий:
a.событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b.событие А появится не менее 150 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.
6.Вероятность того, что покупателю понадобится обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей 30 человек попросят обувь 41-го размера.
7.В первой урне 3 белых и 5 чёрных шаров, а во второй урне 6 белых и 6 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй урны – 1. Найти вероятность того, что все вынутые шары чёрного цвета.
8.При разрыве снаряда образуются осколки трёх весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причём их число составляет 0,2; 0,3 и 0,5 общего числа осколков соответственно. При попадании в броню крупный осколок пробивает её с вероятностью 0,95, средний – с вероятностью 0,2, мелкий – с вероятностью 0,05. В результате взрыва снаряда в броню попал осколок и пробил её. Найти вероятность того, что пробоина возникла от крупного осколка.
9.В прямоугольник с вершинами (–2; 0), (–2; 9), (4; 9), (4; 0) брошена точка. Найти
вероятность того, что её координаты x и y удовлетворяют неравенству 0 ≤ y ≤ 2x − x2 +8 .
10. Дан закон распределения случайной величины Х: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
Х |
–1 |
|
0 |
1 |
|||
|
p |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
|
0,3 |
|
|
Найти функцию распределения случайной величины Х; |
значение F(0); вероятность того, |
|||||||
что случайная величина Х примет значения из отрезка [0; 1]. Построить многоугольник |
||||||||
распределения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х: |
||||||||
|
|
|
|
0, |
x <3, |
|||
|
|
|
|
|
3 ≤ x <5, |
|||
|
|
|
0,15, |
|||||
|
|
F(x) = |
0, 4, |
5 ≤ x <8, |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1, |
x ≥8. |
|||
|
|
|
|
|||||
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х |
530 |
545 |
560 |
575 |
590 |
p |
0,1 |
0,3 |
0,45 |
0,05 |
0,1 |
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
13.Производится набрасывание колец на колышек. Вероятность попадания при одном броске равна 0,3. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа наброшенных колец при трёх бросках.
14.В урне 100 белых и 100 чёрных шаров. Вынимают с возвращением 50 шаров. Оценить
снизу вероятность того, что число m вынутых белых шаров удовлетворяет неравенству
15 < m < 35 .
15.На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 соединений произойдёт:
a.хотя бы два неправильных соединения;
b.более двух неправильных соединений.
16.Случайная величина задана функцией плотности распределения:
|
0, |
x < 0, |
||||
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
p(x) = |
|
|
, 0 |
≤ x < |
34, |
|
17 |
||||||
|
|
|
|
|||
|
0, |
x ≥ |
34. |
|||
|
||||||
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций p(x) |
||||||
и F(x). Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной |
||||||
величины Х. |
|
|
|
|
|
|
17. Случайная величина задана функцией распределения: |
||||||
|
|
|
|
0, |
x < 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) = a (x −2)2 , 2 ≤ x <3, |
||||||
|
|
|
|
1, |
x ≥3. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Найти:
a.параметр a
b.плотность распределения p(x)
c.вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (2,5; 3,5)
d.математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
e.вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная величина Х примет 310 раз значения из интервала (2,5; 3,5).
18.Случайная величина распределена равномерно на отрезке[2; 6]. Записать функции плотности распределения p(x) и распределения F(x). Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3,1. Записать p(x) и построить её график. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 0, σ =10 . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:
a.из отрезка [5; 15];
b.меньше 10;
c.больше –10;
d.отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 15.
21.Величина Х отклонения радиуса подшипника от стандарта распределена по нормальному закону с параметрами a =5 микрон, σ = 0,9 микрон. Найти вероятность того, что 4 < X <9 .
22.По выборке А решить следующие задачи:
a.составить вариационный ряд;
b.вычислить относительные и накопленные частоты;
c.составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d.вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
•выборочное среднее;
•выборочную дисперсию;
•стандартное выборочное отклонение;
•моду и медиану;
e.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности; |
|
|||||
Выборка А: |
14 |
14 |
13 |
12 |
14 |
15 |
|
15 |
13 |
10 |
12 |
15 |
16 |
|
14 |
12 |
13 |
14 |
11 |
14 |
|
12 |
14 |
14 |
11 |
13 |
11 |
|
13 |
16 |
16 |
18 |
17 |
13 |
|
11 |
12 |
14 |
15 |
19 |
12 |
|
13 |
12 |
12 |
18 |
15 |
16 |
|
16 |
14 |
15 |
12 |
12 |
15 |
|
17 |
17 |
15 |
16 |
11 |
12 |
|
13 |
19 |
13 |
15 |
15 |
17 |
23.По выборке В решить следующие задачи:
a.составить группированный вариационный ряд;
b.построить гистограмму и полигон частот;
c.вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
•выборочное среднее;
•выборочную дисперсию;
•стандартное выборочное отклонение;
•моду и медиану;
d.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности; |
|
|
|
|||||
Выборка В: |
112 |
112 |
116 |
120 |
113 |
112 |
119 |
112 |
|
114 |
113 |
118 |
115 |
111 |
118 |
113 |
110 |
|
110 |
114 |
113 |
116 |
116 |
113 |
117 |
117 |
|
113 |
110 |
115 |
110 |
113 |
116 |
112 |
113 |
|
121 |
124 |
118 |
113 |
113 |
110 |
113 |
112 |
|
116 |
123 |
113 |
118 |
113 |
114 |
113 |
114 |
|
124 |
121 |
114 |
113 |
112 |
113 |
120 |
113 |
|
120 |
112 |
130 |
123 |
115 |
114 |
115 |
110 |
|
116 |
118 |
115 |
110 |
112 |
115 |
115 |
112 |
|
124 |
117 |
113 |
117 |
119 |
124 |
113 |
117 |
Вариант 15.
1.В кошельке лежат 10 купюр по 50 рублей и 8 купюр по 100 рублей. Найти вероятность того, что при извлечении наудачу трёх купюр из кошелька все они окажутся по 100 рублей.
2.Бросаются четыре монеты. Найти вероятность того, что на трёх монетах появится «герб».
3.Слово «ГРАБЕЛЬКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) АЛГЕБРА; б) ЛАГЕРЬ.
4.В урне содержится 7 чёрных и 4 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
a.3 белых шара;
b.меньше чем 4 белых шара;
c.хотя бы один чёрный шар.
5.Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6. Найти вероятности следующих событий:
a.событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b.событие А появится не менее 120 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.
6.Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 1000 новорождённых окажется 480 девочек.
7.В первой урне 3 белых и 4 чёрных шара, а во второй – 6 белых и 7 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара, а из второй – три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только три шара чёрного цвета.
8.Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,6; 0,3 и 0,1. Вероятность того, что к приходу пассажира имеющиеся билеты в кассе будут распроданы, равна для первой кассы 0,3; для второй – 0,4; для третьей – 0,5. Пассажир отправился в одну из касс и приобрёл билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.
9. |
Область G ограничена эллипсоидом |
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1, а область g – этим эллипсоидом и |
|
16 |
9 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
сферой x2 + y2 + z2 = 4 . В области G наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что она принадлежит области g?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
|
Х |
|
3 |
6 |
|
|
9 |
|
12 |
|
|
Р |
|
0,3 |
0,4 |
|
0,2 |
|
0,1 |
|
|
Найти функцию распределения |
случайной |
величины |
Х; значение F(9); вероятность |
|||||||
p{6 < X <12}. Построить многоугольник распределения. |
||||||||||
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х: |
||||||||||
|
|
|
|
|
0, |
x < 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x < 2, |
|||
|
|
|
|
0,3, |
||||||
|
|
|
F(x) = |
0,5, |
2 ≤ x <3, |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1, |
x ≥3. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х |
45 |
70 |
95 |
120 |
145 |
p |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
13. Производятся последовательные независимые испытания трёх приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался надёжным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Найти закон распределения числа испытанных приборов. Найти математическое ожидание и центральные моменты 2-го и 3-го порядков числа испытанных приборов.
14. Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 3. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,95?
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,004. Найти вероятность того, что среди 250 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения; b. более трёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
|
0, |
x < 0, |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
p(x) = |
|
, 0 |
≤ x < 6, |
|
|||
18 |
|
x ≥ 6. |
|
|
0, |
||
|
|
|
|
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций |
||||
p(x) |
и F(x). Вычислить математическое |
ожидание, дисперсию, моду и медиану |
||
случайной величины Х. |
|
|
||
17. Случайная величина задана функцией распределения: |
x <3, |
|||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) = x2 +ax +9, 3 ≤ x < 4, |
||
|
|
|
1, |
x ≥ 4. |
|
|
|
||
Найти: |
параметр a |
|
|
|
a. |
|
|
|
|
b. |
|
плотность распределения p(x); |
|
|
c. |
вероятность того, что в результате |
одного испытания случайная величина Х |
||
|
|
примет значения из интервала (3,5; 4) |
; |
|
d. |
математическое ожидание и дисперсию случайной величины; |
|||
e. |
вероятность того, что в результате 300 независимых испытаний случайная |
|||
|
|
величина Х примет 215 раз значения из интервала (3,5; 4). |
||
18.Случайная величина распределена равномерно на отрезке[2; 8]. Записать функции плотности распределения p(x) и распределения F(x). Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,2. Записать p(x) и построить её график. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =8, σ = 4 . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a.из отрезка[3;15];
b.меньше 12;
c.больше 4;
d.отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 5.
21.При измерении детали её длина является случайной величиной, распределённой по
нормальному закону с M ( X ) = 22 мм и σ = 0, 2 мм. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает длина наудачу взятой детали.
22.По выборке А решить следующие задачи:
a.составить вариационный ряд;
b.вычислить относительные и накопленные частоты;
c.составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d.вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
•выборочное среднее;
•выборочную дисперсию;
•стандартное выборочное отклонение, моду и медиану
e.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А: |
6 |
6 |
5 |
6 |
11 |
8 |
|
7 |
4 |
4 |
8 |
3 |
2 |
|
3 |
9 |
6 |
9 |
5 |
8 |
|
8 |
7 |
10 |
8 |
6 |
9 |
|
9 |
10 |
3 |
10 |
5 |
7 |
|
6 |
8 |
9 |
9 |
3 |
8 |
|
4 |
11 |
4 |
6 |
9 |
2 |
|
8 |
7 |
7 |
8 |
4 |
3 |
|
6 |
12 |
10 |
2 |
3 |
8 |
|
6 |
8 |
2 |
3 |
8 |
8 |
23.По выборке В решить следующие задачи:
a.составить группированный вариационный ряд;
b.построить гистограмму и полигон частот;
c.вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
•выборочное среднее;
•выборочную дисперсию;
•стандартное выборочное отклонение;
•моду и медиану;
d.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности; |
|
|
|
|||||
Выборка В: |
58 |
49 |
46 |
53 |
63 |
64 |
53 |
46 |
|
59 |
64 |
50 |
55 |
57 |
55 |
68 |
48 |
|
58 |
54 |
59 |
57 |
53 |
60 |
69 |
68 |
|
56 |
49 |
52 |
63 |
57 |
61 |
49 |
48 |
|
49 |
62 |
65 |
58 |
56 |
68 |
58 |
60 |
|
56 |
52 |
60 |
57 |
48 |
57 |
58 |
67 |
|
65 |
51 |
60 |
58 |
58 |
60 |
59 |
58 |
|
52 |
53 |
54 |
58 |
67 |
68 |
52 |
61 |
|
47 |
56 |
57 |
53 |
64 |
65 |
56 |
58 |
|
59 |
56 |
56 |
56 |
59 |
58 |
57 |
58 |
|
|
|
|
Вариант 16. |
|
|
|
||
1. |
Контролю подлежат 25 деталей, среди которых 3 нестандартных. Какова вероятность |
||||||||
|
тог, что среди взятых наудачу четырёх деталей окажется 2 нестандартных. |
||||||||
2. |
Бросают четыре игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков |
||||||||
|
меньше 8. |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Слово «РЕПЕМЕННАЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна |
||||||||
|
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти |
||||||||
|
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРЕМЕННАЯ; б) МЕРА. |
||||||||
4. |
В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. |
||||||||
|
Найти вероятность того, что среди них имеются: |
|
|
|
|||||
|
a. 3 чёрных шара; |
|
|
|
|
|
|
||
|
b. меньше чем 2 белых шара; |
|
|
|
|
|
|
||
|
c. хотя бы один чёрный шар. |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,3. Найти вероятности |
||||||||
|
следующих событий: |
|
|
|
|
|
|
||
|
a. событие А появится 4 раза в серии из 9 независимых испытаний; |
||||||||
|
b. событие А появится не менее 90 и не более 100 раз в серии из 200 испытаний. |
||||||||
6. |
Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,022. Изделия укладываются в |
||||||||
|
коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в выбранной коробке число |
||||||||
|
бракованных изделий окажется не более трёх. |
|
|
|
|||||
7. |
В первой урне 5 белых и 3 чёрных шара, а во второй урне 4 белых и 9 чёрных шаров. Из |
||||||||
|
первой и второй урн случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность |
||||||||
|
того, что среди вынутых шаров только два шара чёрного цвета. |
||||||||
8. |
Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой |
||||||||
|
группы 4 студента, из второй – 6 студентов, из третьей – 5. Вероятность того, что |
||||||||
|
студент первой, второй, третьей группы попадёт в сборную института, соответственно |
||||||||
|
равны 0,9; 0,7 и 0,8. Один из отобранных студентов в итоге соревнования попал в |
||||||||
|
сборную команду. К какой группе он вероятнее всего принадлежит? |
||||||||
9. |
Стержень длиной L произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность |
||||||||
|
того, что из этих частей можно построить треугольник? |
||||||||
10. Дан закон распределения случайной величины Х: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
3 |
4 |
5 |
|
7 |
|
|
|
p |
|
0,3 |
0,1 |
0,4 |
|
0,2 |
|
|
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(5); вероятность того, |
||||||||
|
что случайная величина Х примет значения из отрезка[3; 5]. Построить многоугольник |
||||||||
|
распределения. |
|
|
|
|
|
|
||
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x <1, |
|
|
|
|
|
|
|
0,3, |
1 ≤ x <3, |
||
|
|
|
|
F |
|
||||
|
|
|
|
(x) = |
|
3 ≤ x <5, |
|||
|
|
|
|
|
0,8, |
||||
|
|
|
|
|
|
1, |
|
x ≥5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х |
–28 |
–20 |
–12 |
–4 |
4 |
p |
0,22 |
0,44 |
0,17 |
0,1 |
0,07 |
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
13. Вероятность того, что в магазине есть сертификаты качества для полного ассортимента товаров, равна 0,7. Комиссия проверила наличие сертификатов в четырёх магазинах района. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа магазинов, в которых при проверке не обнаружены сертификаты качества.
14. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 350 одинаковых ящиков было взято на проверку по одной электролампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных электроламп отличается от средней продолжительности горения всей партии по абсолютной величине меньше чем на 7 часов, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения электроламп в каждом ящике меньше 9 часов.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения; b. более двух неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
|
0, |
x < 0 |
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
p (x)= |
|
, 0 ≤ x |
< 38 |
|
|
||||
19 |
|
|
|
|
|
0, |
x ≥ |
38. |
|
|
||||
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций |
||||||||||
p(x) |
и F(x). Вычислить математическое |
ожидание, |
дисперсию, моду и медиану |
|||||||
случайной величины Х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Случайная величина задана функцией распределения: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0, |
x < −1; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F(x)= ax |
+ 3 |
4 |
, −1 ≤ x < 1 |
3 |
; |
||||
|
|
|
|
|
x ≥ 1 |
|
|
|
||
|
|
|
1, |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти:
a.параметр a ;
b.плотность распределения p(x);
c.вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (–0,5; 1);
d.математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e.вероятность того, что в результате 300 независимых испытаний случайная величина Х примет 220 раз значения из интервала (–0,5; 1)
18.Случайная величина распределена равномерно на отрезке[1; 3]. Записать функции плотности распределения p(x) и распределения F(x). Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2. Записать p(x) и построить её график. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =30, σ =5. Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a.из отрезка[15; 25];
b.меньше 25;
c.больше 15;
d.отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 4.
21.Станок-автомат изготавливает валики. Считается, что их диаметр – нормально распределённая случайная величина со средним значением 10мм. Чему равно среднее квадратичное отклонение, если с вероятностью 0,99 диаметр заключён в интервале от
9,7мм до 10,3мм.
22.По выборке А решить следующие задачи:
a.составить вариационный ряд;
b.вычислить относительные и накопленные частоты;
c.составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d.вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее и выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду, медиану.
e.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А: |
6 |
9 |
7 |
6 |
4 |
4 |
|
9 |
6 |
7 |
8 |
8 |
3 |
|
7 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
8 |
6 |
8 |
3 |
2 |
|
5 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
|
10 |
12 |
6 |
3 |
4 |
8 |
|
6 |
6 |
6 |
5 |
4 |
5 |
|
7 |
7 |
8 |
2 |
9 |
6 |
|
6 |
5 |
4 |
6 |
2 |
3 |
|
4 |
11 |
4 |
8 |
3 |
6 |
23.По выборке В решить следующие задачи:
a.составить группированный вариационный ряд;
b.построить гистограмму и полигон частот;
c.вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду и медиану.
d.при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности; |
|
|
|
|||||
Выборка В: |
55 |
72 |
54 |
53 |
64 |
53 |
59 |
48 |
|
42 |
46 |
50 |
63 |
71 |
56 |
54 |
59 |
|
54 |
44 |
50 |
43 |
51 |
52 |
60 |
43 |
|
50 |
70 |
68 |
59 |
53 |
58 |
62 |
49 |
|
59 |
51 |
52 |
47 |
57 |
71 |
60 |
46 |
|
55 |
58 |
72 |
47 |
60 |
65 |
63 |
63 |
|
58 |
56 |
55 |
51 |
64 |
54 |
54 |
63 |
|
56 |
44 |
73 |
41 |
68 |
54 |
48 |
52 |
|
52 |
50 |
55 |
49 |
71 |
67 |
58 |
46 |
|
50 |
51 |
72 |
63 |
64 |
48 |
47 |
55 |