Сборник задач по ТеорВер 2003
.pdf
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
13.Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые потребуют внимания рабочего.
14.Вероятность наличия трещины на металлических заготовках равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 500 заготовок отклонение числа пригодных заготовок от 400 не превышает 6%.
15.На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти на вероятность того, что среди 150 соединений произойдет:
а) хотя бы 4 неправильных соединения; б) больше двух неправильных соединений.
16.Случайная величина X задана функцией распределения
|
0, |
x < 0 |
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
p (x)= |
|
, 0 ≤ x |
< 24 |
|
|
||||
12 |
|
|
|
|
|
0, |
x ≥ |
24. |
|
|
||||
Найти функцию распределения F (x) |
случайной величины X . Построить графики |
|||
функций p(x) и F (x). Вычислить для |
этой |
случайной величины математическое |
||
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
|
|
0, x < 0 |
|
F (x)= a (x2 + x), 0 ≤ x < 2 |
|
|
|
1, x ≥ 2. |
|
|
|
Найти а) |
параметр a ; |
|
б) |
плотность распределения p(x); |
|
в) |
вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X |
|
|
примет значение из интервала(1;3); |
|
г) |
математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; |
|
д) вероятность того, что в результате 640 независимых испытаний случайная величина X примет 170 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке[5; 11, 2]. Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,3. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =15 и σ =10 . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка[3; 30]; б) меньшее 17;
в) большее 25; г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 9.
21.Средний диаметр детали равен 6см, а дисперсия равна 0,0004см². Определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера, которое можно гарантировать с вероятностью 0,9973.
22.По выборке А решить следующие задачи:
а) |
составить вариационный ряд, |
|
|
|
|
|
||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|
|
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|
||||||||
г) |
вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
|||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
|||||||||
д) |
при |
уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить |
гипотезу о |
распределении |
|||
|
Пуассона соответствующей генеральной совокупности. |
|
||||||||
Выборка А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0 |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
1 |
4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
23. По выборке В решить следующие задачи: |
|
|
|
|
|
|||||
а) |
составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму; |
|||||||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|
|
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|
||||||||
г) |
вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
|||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
|||||||||
д) |
при |
уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить |
гипотезу |
о нормальном |
|||
|
распределении соответствующей генеральной совокупности. |
|
||||||||
Выборка В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
76 |
65 |
66 |
76 |
66 |
89 |
48 |
|
|
|
62 |
50 |
47 |
55 |
67 |
51 |
73 |
75 |
|
|
|
61 |
88 |
46 |
57 |
65 |
60 |
69 |
68 |
|
|
|
65 |
34 |
77 |
63 |
57 |
61 |
42 |
85 |
|
|
|
49 |
62 |
65 |
75 |
56 |
66 |
92 |
60 |
|
|
|
43 |
52 |
80 |
68 |
42 |
87 |
81 |
67 |
|
|
|
65 |
81 |
90 |
38 |
58 |
60 |
79 |
58 |
|
|
|
77 |
73 |
54 |
58 |
77 |
86 |
52 |
61 |
|
|
|
42 |
61 |
70 |
53 |
64 |
65 |
76 |
88 |
|
|
|
59 |
62 |
67 |
62 |
90 |
80 |
72 |
58 |
|
|
Вариант 11
1.В ящике 12 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
2.Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше
15.
3.Слово «ПРОИЗВОДНАЯ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают
ивынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПРОИЗВОДНАЯ, б) РОДНЯ.
4.В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара; б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,6. Вычислить вероятности следующих событий:
а) событие А наступит 4 раза в серии из 8 независимых испытаний; б) событие А наступит не менее 280 и не более 320 раз в серии из 600
независимых испытаний.
6.Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 8 машин. В парке автобазы имеется 10 автомобилей. Вероятность невыхода каждой машины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы.
7.В первой урне 6 белых и 7 черных шаров, а во второй – 5 белых и 4 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шар, а из второй – 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 2 шара черного цвета.
8.В пирамиде 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, из винтовки без прицела – 0,7. Найти вероятность поражения мишени, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
9.На отрезке [0; 2] наудачу выбраны два числа x и y . Найти вероятность того, что они удовлетворяют неравенствам x2 ≤ 4 y ≤ 4x .
10.Дан закон распределения случайной величины X :
|
|
X |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
p |
0,3 |
|
0,2 |
|
|
|
0,2 |
0,3 |
|
||
|
Найти функцию распределения F (x), значение F (5). Вычислить вероятность того, что X |
||||||||||||
|
примет значение из интервала (1; 5). Построить многоугольник распределения. |
||||||||||||
11. |
Известна функция распределения дискретной случайной величины X : |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, x < 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 2, 2 ≤ x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
F (x)= |
0, 6, 3 ≤ x |
< 7 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, x ≥ 7 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. |
Задан закон распределения дискретной случайной величины: |
|
|
|
||||||||||
|
|
X |
|
110 |
|
120 |
|
|
130 |
140 |
150 |
|
||
|
Вычислить |
p |
|
0,1 |
|
0,2 |
|
|
0,3 |
0,2 |
0,2 |
|
||
|
ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое |
|||||||||||||
|
отклонение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
В лаборатории проводятся 3 независимых |
опыта. Вероятность появления события в |
||||||||||||
|
каждом опыте равна 0,3. Опыты проводятся до первого наступления события. Найти закон |
|||||||||||||
|
распределения числа произведенных опытов. Вычислить математическое ожидание, |
|||||||||||||
|
дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества проведенных опытов. |
|||||||||||||
14. |
Средняя длина детали равна 30см, а дисперсия 0,2. Пользуясь неравенством Чебышева |
|||||||||||||
|
оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 28,5см |
|||||||||||||
|
и не больше 31,5см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. |
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,03. Найти |
|||||||||||||
|
на вероятность того, что среди 100 соединений произойдет: |
|
|
|
||||||||||
|
|
а) |
хотя бы 4 неправильных соединения; |
|
|
|
||||||||
|
|
б) |
больше трех неправильных соединений. |
|
|
|
||||||||
16. |
Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, x |
< 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
p (x) |
x |
|
≤ x < 26 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
, 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0, x |
≥ 26. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти функцию распределения F (x) случайной величины X . Построить графики функций p(x) и F (x). Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 0
( ) 1
F x = x +a, 0 ≤ x < 3
3
1, x ≥ 3.
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p(x);
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение из интервала(0,5; 2,5);
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; д) вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная
величина X примет 135 раз значения из указанного интервала.
18.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке[1,6; 4,8]. Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 7. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 4 и σ =5. Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка[2; 15];
б) меньшее 9; в) большее -1;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 6.
21.Длина изготовленной автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 15см и дисперсией 0,2см. Какую точность длины детали, изготовленной этим автоматом, можно гарантировать в с вероятностью 0,97?
22.По выборке А решить следующие задачи:
а) |
составить вариационный ряд, |
|
||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|||||
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
|||||
д) при уровне значимости |
α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении |
|||||
|
Пуассона соответствующей генеральной совокупности. |
|||||
Выборка А: |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
3 |
1 |
4 |
5 |
|
5 |
3 |
0 |
2 |
5 |
6 |
|
4 |
2 |
3 |
4 |
1 |
4 |
|
2 |
4 |
4 |
1 |
3 |
1 |
|
3 |
6 |
6 |
8 |
7 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
5 |
9 |
2 |
|
3 |
2 |
2 |
8 |
5 |
6 |
|
6 |
4 |
5 |
2 |
2 |
5 |
|
7 |
7 |
5 |
6 |
1 |
2 |
|
3 |
9 |
3 |
5 |
5 |
7 |
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму; б) вычислить относительные и накопленные частоты, в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить гипотезу о нормальном |
||||
распределении соответствующей генеральной совокупности. |
|||||||
Выборка В: |
|
|
|
|
|
|
|
127 |
129 |
136 |
125 |
130 |
127 |
129 |
132 |
134 |
131 |
138 |
150 |
131 |
128 |
123 |
130 |
130 |
141 |
134 |
126 |
136 |
133 |
127 |
137 |
136 |
130 |
135 |
130 |
135 |
126 |
132 |
130 |
121 |
140 |
138 |
136 |
132 |
140 |
138 |
126 |
116 |
130 |
133 |
128 |
138 |
124 |
131 |
143 |
114 |
129 |
140 |
135 |
128 |
137 |
120 |
134 |
126 |
132 |
123 |
138 |
155 |
142 |
145 |
140 |
136 |
128 |
125 |
140 |
122 |
135 |
125 |
122 |
144 |
137 |
133 |
127 |
139 |
124 |
139 |
127 |
Вариант 12.
1.В урне содержится 15 шаров, из которых 12 черного цвета, остальные – белого. Найти вероятность того, что из 5 наудачу извлеченных из урны шаров 2 окажутся черного цвета
и3 – белого.
2.Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на трех монетах появится «герб».
3.Слово «ПЕДАГОГИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПЕДАГОГИКА, б) ГОД.
4.В урне содержится 6 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара; б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности следующих событий:
а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний; б) событие А наступит 115 раз в серии из 432 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 480 и не более 520 раз в серии из 756 независимых испытаний.
6.Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит менее трех неправильных книг.
7.В первой урне 4 белых и 3 черных шара, а во второй – 7 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй – 4 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары белые.
8.Имеются 2 партии деталей: в первой 10 штук, а во второй 20штук. В каждой партии по 2 бракованных детали. Из первой партии во вторую переложили 3 детали, после чего из второй партии выбрали одну деталь. Какова вероятность того, что извлеченная деталь бракована?
9.В прямоугольник с вершинами (−1;0),(−1;5),(4;5),(4;0) брошена точка. какова вероятность того, что ее координаты (x; y) удовлетворяют неравенствам x2 +1 ≤ y ≤ x +3 ?
10.Дан закон распределения случайной величины X :
|
X |
–2 |
|
–1 |
|
1 |
1,5 |
|
|
p |
0,4 |
|
0,1 |
|
0,2 |
0,3 |
|
Найти функцию распределения F (x), значение F (1). Вычислить вероятность того, что X |
||||||||
примет значение из интервала (−2; 1). Построить многоугольник распределения. |
||||||||
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X : |
||||||||
|
|
|
|
|
0, x < −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 2, −3 ≤ x < 2 |
|
|
||
|
|
|
F (x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 25, 2 ≤ x < 7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1, x ≥ 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. |
Задан закон распределения дискретной случайной величины: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
15 |
|
25 |
|
|
35 |
|
45 |
55 |
|
|
|
Вычислить |
p |
|
0,12 |
|
0,18 |
|
0,38 |
|
0,02 |
0,3 |
|
||
|
ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое |
|||||||||||||
|
отклонение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
В магазин поступила партия авторучек. Вероятность повреждения в пути равна 0,06. Из |
|||||||||||||
|
партии берут авторучку и проверяют ее качество. Если ручка повреждена, то проверку |
|||||||||||||
|
прекращают, а партию возвращают обратно. Если же авторучка без повреждений, то берут |
|||||||||||||
|
следующую и т.д., но всего проверяют не более 5 ручек. Найти закон распределения, |
|||||||||||||
|
математическое ожидание дисперсию числа проверенных ручек. |
|
|
|
||||||||||
14. |
Вероятность опоздания пассажира на поезд равна 0,003. Оценить вероятность того, что из |
|||||||||||||
|
10000 пассажиров окажется от 200 до 250 опоздавших. |
|
|
|
||||||||||
15. |
На телефонной станции неправильное |
соединение происходит с вероятностью 0,003. |
||||||||||||
|
Найти на вероятность того, что среди 1200 соединений произойдет: |
|
|
|||||||||||
|
|
а) |
хотя бы 3 неправильных соединения; |
|
|
|
||||||||
|
|
б) |
больше трех неправильных соединений. |
|
|
|
||||||||
16. |
Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, x < 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p (x)= |
|
, 0 ≤ x |
< 48 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x ≥ |
48. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти функцию распределения F (x) случайной величины X . Построить графики функций p(x) и F (x). Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
|
0, |
x < −1 |
|
F (x)= a (x +1)2 , −1 ≤ x <1 |
|||
|
1, |
x ≥1. |
|
|
|||
|
|
||
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p(x);
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X примет значение из интервала(0; 2);
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; д) вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная
величина X примет 50 раз значение из указанного интервала.
18.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке[1,5; 3,5]. Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 0,1. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =7 и σ =5. Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка[1; 15];
б) меньшее 12; в) большее 2;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 6.
13. Автомат штампует детали. Контролируется диаметр детали Х, который можно считать случайной величиной, распределенной нормально с математическим ожиданием 50см и дисперсией 3,6см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали находится в пределах от 55см до 68см.
22. По выборке А решить следующие задачи: |
|
|
|
|
|
|||||
а) |
составить вариационный ряд, |
|
|
|
|
|
||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|
|
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|
||||||||
г) |
вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
|||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
|||||||||
д) |
при |
уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить |
гипотезу о |
распределении |
|||
|
Пуассона соответствующей генеральной совокупности. |
|
||||||||
Выборка А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
4 |
5 |
9 |
5 |
|
|
|
|
|
7 |
4 |
4 |
6 |
6 |
5 |
|
|
|
|
|
4 |
6 |
7 |
6 |
7 |
7 |
|
|
|
|
|
6 |
7 |
7 |
8 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
6 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
6 |
8 |
9 |
5 |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
4 |
9 |
4 |
6 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
8 |
7 |
7 |
8 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
6 |
6 |
8 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
7 |
9 |
3 |
4 |
7 |
9 |
|
|
|
|
23. По выборке В решить следующие задачи: |
|
|
|
|
|
|||||
а) |
составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму; |
|||||||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|
|
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|
||||||||
г) |
вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
|||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
|||||||||
д) |
при |
уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить |
гипотезу |
о нормальном |
|||
|
распределении соответствующей генеральной совокупности. |
|
||||||||
Выборка В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
47 |
44 |
41 |
41 |
42 |
41 |
43 |
|
|
|
37 |
32 |
38 |
33 |
45 |
33 |
46 |
41 |
|
|
|
36 |
42 |
47 |
45 |
41 |
48 |
47 |
46 |
|
|
|
44 |
47 |
40 |
41 |
45 |
41 |
47 |
46 |
|
|
|
46 |
32 |
43 |
46 |
44 |
46 |
46 |
50 |
|
|
|
44 |
40 |
50 |
45 |
46 |
37 |
46 |
37 |
|
|
|
35 |
41 |
40 |
46 |
38 |
40 |
47 |
46 |
|
|
|
32 |
43 |
42 |
46 |
45 |
46 |
42 |
31 |
|
|
|
47 |
46 |
47 |
43 |
44 |
45 |
46 |
46 |
|
|
|
39 |
36 |
46 |
46 |
49 |
48 |
47 |
46 |
|
|
Вариант 13.
1.Среди 15 участников международной конференции английский язык знают 10. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 участников английский язык знают 3.
2.Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится «герб».
3.Слово «ПОПУЛЯРНОСТЬ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы в порядке появления образуют слово:
а) ПОПУЛЯРНОСТЬ; б) ПОСОЛ.
4.В урне содержится 4 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеются:
a.3 белых шара;
b.меньше чем 3 белых шара;
c.хотя бы один чёрный шар.
5.Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,3. Найти вероятности следующих событий:
a.событие А появится 4 раза в серии из 8 испытаний;
b.событие А появится не менее 90 и не более 140 раз в серии из 200 испытаний.
6.Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут не менее трёх?
7.В первой урне 3 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 4 белых и 6 чёрных шаров. Из первой и второй урн случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только два шара белого цвета.
8.В вычислительном центре имеется 3 больших и 10 малых ЭВМ. Вероятность того, что большая ЭВМ не выйдет из строя, равна 0,9, для малой ЭВМ эта вероятность равна 0,7. На случайно выбранной машине производится расчёт. Найти вероятность ее выхода из строя.
9.На отрезок единичной длины бросают две точки. Они разбивают отрезок на три части. Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно сложить треугольник?
10.Дан закон распределения случайной величины Х:
|
|
Х |
|
–0,5 |
|
|
0 |
|
0,5 |
|
|
1 |
|
|
||
Найти функцию распределения |
p |
|
0,1 |
|
0,4 |
|
0,3 |
|
|
0,2 |
|
|
||||
|
|
F |
(X ); |
значение |
F(0,5); |
вероятность того, что случайная |
||||||||||
величина Х примет значения из отрезка [0, 1]. Построить многоугольник распределения. |
||||||||||||||||
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x <1, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3, |
1 ≤ x <5, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F(x) = |
|
|
5 ≤ x < 6, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
x ≥ 6. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы. |
||||||||||||||||
12. Дан закон распределения случайной величины Х: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Х |
|
32 |
|
37 |
|
42 |
|
|
47 |
52 |
|
||||
|
p |
|
0,25 |
|
0,15 |
|
0,45 |
|
|
0,05 |
0,1 |
|
||||
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
13.Вероятность того, что в библиотеке есть необходимая студенту книга, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
14.Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно А, чтобы
свероятностью не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от А по абсолютной величине меньше чем на 1, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 7?
15.На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,004. Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдёт:
a.хотя бы три неправильных соединения;
b.более трёх неправильных соединений.
16.Случайная величина задана функцией плотности распределения:
|
0, |
x < 0, |
||||
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
p(x) = |
|
|
, |
0 ≤ x < |
30, |
|
15 |
||||||
|
|
|
|
|||
|
0, |
x ≥ |
30. |
|||
|
||||||
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций р(х) и F(x). Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
|
0, |
x <1, |
|
− x), 1 ≤ x < 2, |
|
F(x) = a (x2 |
||
|
1, |
x ≥ 2. |
|
||
Найти:
a.параметр a
b.плотность распределения р(х)
c.вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (0,5; 1,5),
d.математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
e.вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная величина Х примет 330 раз значения из интервала (0,5; 1,5)
18.Случайная величина распределена равномерно на отрезке[0,2; 3,4]. Записать функции плотности распределения p(x)и распределения F (x). Вычислить математическое ожидание
идисперсию случайной величины Х.
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5,2. Записать p(x) и построить её график. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 4, σ =3 . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:
a.из отрезка [0; 10 ];
b.меньше 7;
c.больше 1;
d.отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 4.