Сборник задач по ТеорВер 2003
.pdf20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 8 и σ = 6 . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка[2; 26];
б) меньшее 12; в) большее 16;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 10.
21.Диаметр изготовляемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 4,5см и средним квадратическим отклонением 0,005см.Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 1мм.
22.По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график, г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
7 |
4 |
6 |
1 |
4 |
2 |
4 |
6 |
5 |
3 |
2 |
9 |
0 |
5 |
6 |
7 |
7 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
2 |
6 |
1 |
3 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
4 |
5 |
3 |
1 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
6 |
7 |
5 |
4 |
2 |
4 |
3 |
4 |
7 |
3 |
6 |
4 |
2 |
1 |
7 |
7 |
5 |
4 |
3 |
1 |
23.По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон частот и гистограмму; б) вычислить относительные и накопленные частоты, в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
96 |
103 |
89 |
72 |
105 |
85 |
85 |
91 |
85 |
91 |
87 |
101 |
94 |
98 |
85 |
82 |
94 |
86 |
72 |
83 |
100 |
86 |
85 |
95 |
95 |
83 |
92 |
83 |
100 |
87 |
104 |
104 |
92 |
101 |
101 |
97 |
98 |
87 |
72 |
86 |
88 |
85 |
83 |
96 |
99 |
78 |
74 |
89 |
88 |
78 |
95 |
75 |
97 |
74 |
100 |
105 |
79 |
106 |
92 |
94 |
99 |
84 |
79 |
74 |
102 |
78 |
76 |
102 |
103 |
89 |
87 |
88 |
95 |
94 |
89 |
98 |
101 |
100 |
84 |
86 |
Вариант 4.
1.Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
2.Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся одно четное и одно нечетное число очков.
3.Слово «АЛГОРИТМ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) АЛГОРИТМ, б) ГОРА.
4.В урне содержится 7 черных и 4 белых шара. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:
а) 2 белых шара; б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности следующих событий:
а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний; б) событие А наступит ровно 2 раза в серии из 500 независимых испытаний.
в) событие А наступит не менее 160 и не более 180 раз в серии из 250 независимых испытаний.
6.В мастерской имеется 12 моторов. При определенном режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.
7.В первой урне 5 белых и 4 черных шара, а во второй – 7 белых и 4 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй – 4 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 3 белых шара.
8.Имеются 2 партии изделий. В первой партии 8 изделий, а во второй – 6 изделий. В каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое из первой партии, переложили во вторую партию, после чего взяли изделие из второй партии. Найти вероятность того, что изделие, выбранное из второй партии, бракованное.
9.В шар вписан правильный тетраэдр. В шаре наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется в тетраэдре?
10.Дан закон распределения случайной величины X :
|
X |
0 |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
p |
0,1 |
|
0,1 |
|
0,2 |
|
0,6 |
|
Найти |
функцию распределения F (x), значение F (0). |
Вычислить вероятность того, что |
|||||||
X примет значение из интервала (0; 4). Построить многоугольник распределения. |
|||||||||
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X : |
|||||||||
|
|
|
|
|
0, x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x)= 0,4, 0 ≤ x < 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0,5, 2 ≤ x < 4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1, x ≥ 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
X |
140 |
160 |
180 |
200 |
220 |
p |
0,1 |
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,15 |
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
13. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества выпускаемых изделий ОТК берет из партии не более 4-х изделий. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Написать закон распределения числа изделий, проверяемых ОТК в каждой партии. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
14. |
Всхожесть семян кукурузы в некоторых условиях равна 90%. Найти границы для частоты |
|||
|
взошедших семян из 900 посеянных, если эти границы надо гарантировать с вероятностью |
|||
|
не меньшей 0,99. |
|
|
|
15. |
На телефонной станции неправильное |
соединение происходит с вероятностью 0,002. |
||
|
Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдет: |
|||
|
а) |
ровно 2 неправильных соединения; |
||
|
б) |
больше четырех неправильных соединений. |
||
16. |
Случайная величина X задана функцией распределения |
|||
|
|
|
0, x < 0 |
|
|
|
p(x)= x , 0 ≤ x < |
12 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
0, x ≥ 12. |
|
|
|
|
|
|
|
Найти функцию |
распределения F (x) |
случайной |
величины X . Построить графики |
функций p (x) и F (x). Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
|
0, |
x |
< 0 |
F(x)= a arctg x, |
0 |
≤ x <1 |
|
|
1, |
x ≥1. |
|
|
|||
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p(x);
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала 
3 ; 1 ;
3
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; д) вероятность того, что в результате 450 независимых испытаний случайная
величина X примет 160 раз значение из указанного интервала.
18.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке[1,3; 5,3]. Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5,4. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =12 и σ = 8 . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка[2; 26];
б) меньшее 8; в) большее 15;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 11.
21.Размер диаметра детали, выпускаемой предприятием, распределен по нормальному закону
сматематическим ожиданием 5см и дисперсией 0,81см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отклонится от математического ожидания не более чем на
2см.
22.По выборке А решить следующие задачи:
а) |
составить вариационный ряд, |
|
|
|
|||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
||||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
||||||||
г) |
вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
||||||||
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона |
|||||||||
|
соответствующей генеральной совокупности. |
|
|||||||
Выборка А: |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
5 |
5 |
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
5 |
0 |
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
3 |
5 |
2 |
|
|
23 По выборке В решить следующие задачи: |
|
|
|
||||||
а) |
составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму; |
||||||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
||||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
||||||||
г) |
вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
||||||||
д) |
|
при уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить гипотезу о нормальном |
||||
|
распределении соответствующей генеральной совокупности. |
||||||||
Выборка В: |
–29 |
–22 |
–16 |
–20 |
–16 |
–18 |
–28 |
–20 |
|
|
|
||||||||
|
|
–32 |
–22 |
–23 |
–26 |
–10 |
–25 |
–25 |
–29 |
|
|
–29 |
–19 |
–12 |
–26 |
–18 |
–20 |
–19 |
–24 |
|
|
–20 |
–20 |
–19 |
–26 |
–23 |
–11 |
–26 |
–30 |
|
|
–23 |
–30 |
–18 |
–20 |
–13 |
–17 |
–24 |
–28 |
|
|
–26 |
–21 |
–21 |
–26 |
–24 |
–25 |
–35 |
–23 |
|
|
–24 |
–25 |
–20 |
–23 |
–17 |
–11 |
–22 |
–19 |
|
|
–19 |
–25 |
–29 |
–23 |
–16 |
–25 |
–15 |
–18 |
|
|
–17 |
–19 |
–21 |
–12 |
–24 |
–30 |
–13 |
–33 |
|
|
–22 |
–32 |
–19 |
–18 |
–23 |
–27 |
–32 |
–34 |
Вариант 5.
1.Колода из 36 карт разделена наудачу пополам. Найти вероятность того, что каждая из полуколод будет состоять из карт одного цвета.
2.Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше из произведения.
3.Слово «ИНТЕГРАЛ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ИНТЕГРАЛ, б) ЛЕНТА.
4.В урне содержится 4 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:
а) 2 белых шара; б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4. Вычислить вероятности следующих событий:
а) событие А наступит 4 раза в серии из 6 независимых испытаний; б) событие А наступит не менее 120 и не более 140 раз в серии из 384
независимых испытаний.
6.Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероятность поражения объекта каждым орудием при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее 4 попаданий.
7.В первой урне 5 белых и 6 черных шаров, а во второй – 7 белых и 3 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.
8.Кинескопы для телевизоров поставляют три завода: первый – 50%, второй – 30%, третий – 20% от общего числа поставляемых кинескопов. В продукции первого завода встречается 5% брака, второго – 3%, третьего – 1% брака. Кинескоп отказал в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что он был изготовлен вторым заводом.
9. В квадрат с вершинами |
(0, 1), (0, 0), (1, 0), (1, 1) наудачу поставлена точка с координатами |
|||||||||
(x, y). Какова вероятность того, что они удовлетворяют неравенству y ≥ 4x 2 ? |
||||||||||
10. Дан закон распределения случайной величины X : |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
|
3 |
|
|
5 |
7 |
|
|
p |
|
0,2 |
|
0,3 |
|
0,1 |
0,4 |
|
|
Найти функцию распределения F (x), значение F (0). Вычислить вероятность того, что X |
||||||||||
примет значение из интервала (0; 3). Построить многоугольник распределения. |
||||||||||
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X : |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, x < −2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−2 ≤ x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
F(x)= 0,2, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
0,6, 0 ≤ x <1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1, |
x ≥1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
X |
318 |
328 |
338 |
348 |
358 |
p |
0,15 |
0,15 |
0,2 |
0,35 |
0,15 |
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
13. |
Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон |
|||
|
распределения количества мальчиков в семье, имеющей 5 детей. Найти среднее значение и |
|||
|
дисперсию количества мальчиков в семье. |
|
||
14. |
Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величины, чтобы с |
|||
|
вероятностью не меньшей 0,98 можно было ожидать, что среднее арифметическое |
|||
|
результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине менее |
|||
|
чем не 0,01, если дисперсия отдельного испытания не превосходит 1. |
|||
15. |
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005. |
|||
|
Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдет: |
|||
|
а) |
ровно 3 неправильных соединения; |
||
|
б) |
больше трех неправильных соединений. |
||
16. |
Случайная величина X задана функцией распределения |
|||
|
|
|
0, x < 0 |
|
|
|
p(x)= x , 0 ≤ x |
< 14 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
0, x ≥ |
14. |
|
|
|
||
|
Найти функцию |
распределения F (x) |
случайной величины X . Построить графики |
|
функций p(x) и F (x). Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
|
0, |
x < 0 |
F(x)= a x3 , 0 ≤ x <1 |
||
|
1, |
x ≥1. |
|
||
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p(x);
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
1 |
|
||
примет значение из интервала |
|
; 2 ; |
|
2 |
|||
|
|
||
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; д) вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная
величина X примет 720 раз значение из указанного интервала.
18.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке[1,4; 7,6]. Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 6,1. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =8 и σ =5 . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка[3;15];
б) меньшее 9; в) большее 12;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 15.
21.Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрамиa =16 км и σ =100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 16,25км.
22.По выборке А решить следующие задачи:
а) |
составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму; |
|||||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|||||||
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
||||||||
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
||||||||
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона |
||||||||
соответствующей генеральной совокупности. |
|
|||||||
Выборка А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
10 |
7 |
6 |
3 |
7 |
|
|
|
8 |
7 |
4 |
7 |
10 |
7 |
|
|
|
3 |
9 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|
|
|
10 |
11 |
6 |
5 |
7 |
6 |
|
|
|
3 |
8 |
4 |
3 |
8 |
4 |
|
|
|
10 |
6 |
8 |
7 |
8 |
7 |
|
|
|
7 |
4 |
4 |
6 |
7 |
10 |
|
|
|
4 |
7 |
0 |
5 |
5 |
4 |
|
|
|
8 |
5 |
5 |
10 |
7 |
3 |
|
|
|
8 |
5 |
6 |
6 |
3 |
4 |
|
|
23. По выборке В решить следующие задачи: |
|
|
|
|||||
а) |
составить вариационный ряд, |
|
|
|
||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|||||||
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. |
|||||||
д) |
при уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить гипотезу о нормальном |
||||
|
распределении соответствующей генеральной совокупности. |
|||||||
Выборка В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
324 |
296 |
313 |
323 |
312 |
321 |
322 |
301 |
|
337 |
322 |
328 |
312 |
318 |
327 |
325 |
309 |
|
329 |
319 |
312 |
326 |
318 |
320 |
309 |
324 |
|
320 |
320 |
319 |
326 |
323 |
311 |
326 |
330 |
|
323 |
330 |
318 |
320 |
313 |
317 |
324 |
328 |
|
326 |
321 |
321 |
326 |
324 |
325 |
335 |
323 |
|
324 |
325 |
320 |
323 |
317 |
311 |
322 |
319 |
|
319 |
325 |
329 |
323 |
316 |
325 |
315 |
318 |
|
317 |
319 |
321 |
312 |
324 |
330 |
313 |
333 |
|
322 |
332 |
319 |
318 |
323 |
327 |
332 |
334 |
Вариант 6.
1.В магазин поступило 40 телевизоров, причем 15 из них фирмы «LG». Найти вероятность того, что среди пяти проданных телевизоров 3 окажутся фирмы «LG».
2.Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех верхних гранях выпадут нечетные числа.
3.Слово «КАЛЬКУЛЯТОР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают
ивынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) КАЛЬКУЛЯТОР, б) КУЛАК.
4.В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара; б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,1. Вычислить вероятности следующих событий:
а) событие А наступит 5 раз в серии из 7 независимых испытаний; б) событие А наступит не менее 150 и не более 170 раз в серии из 530 независимых
испытаний.
6.Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти вероятность того, что среди 1000 изделий ровно 40 бракованных.
7.В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй – 6 белых и 4 черных шара. Из первой
ивторой урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров три белых шара.
8.В первой бригаде 5 рабочих имеют рабочий одного до трех лет., 7 рабочих – от трех до пяти лет и 4 рабочих – свыше пяти лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют рабочий одного до трех лет., 3 рабочих – от трех до пяти лет и 5 рабочих – свыше пяти лет. Из первой бригады во вторую переведен один рабочий. Найти вероятность того, что рабочий, наудачу взятый из нового состава второй бригады, имеет стаж менее 5 лет.
9.На плоскости начерчены 2 концентрические окружности, радиусы которых 6см и 12см соответственно. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями.
10.Дан закон распределения случайной величины X :
|
X |
0 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
p |
0,2 |
|
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
|
Найти функцию распределения F (x), значение F (4). Вычислить вероятность того, что X |
||||||||
примет значение из интервала (0; 3). Построить многоугольник распределения. |
||||||||
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X : |
||||||||
|
|
|
|
|
0, x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3, 0 |
≤ x < 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F (x)= |
|
≤ x <3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,6, 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1, x |
≥3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
X |
90 |
96 |
102 |
108 |
114 |
p |
0,05 |
0,15 |
0,2 |
0,1 |
0,5 |
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
13.Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. вероятность отказа каждого элемента в отдельном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в данном опыте. Вычислить начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно.
14.Вероятность положительного исхода отдельного испытания равна 0,8. оценить вероятность того, что при 1000 независимых испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности по абсолютной величине будет меньше 0,05.
15.На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 300 соединений произойдет:
а) ровно 4 неправильных соединения; б) больше двух неправильных соединений.
16.Случайная величина X задана функцией распределения
0, x < 0
p (x)= x , 0 ≤ x < 4
8
≥0, x 4.
Найти функцию распределения F (x) случайной величины X . Построить графики функций p(x) и F (x). Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
|
|
0, x < 0 |
|
|
x, 0 ≤ x < 4 |
|
F (x)= a |
|
|
|
1, x ≥ 4. |
|
|
|
Найти а) |
параметр a ; |
|
б) |
плотность распределения p(x); |
|
в) |
вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X |
|
|
примет значение из интервала(2; 5); |
|
г) |
математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины; |
|
д) вероятность того, что в результате 500 независимых испытаний случайная величина X примет 220 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке[1, 2; 7, 4]. Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 1,2. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
20.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =12 и σ =10 . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка[0;30];
б) меньшее 15; в) большее 10;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 8.
21. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами M (X )=10 и D (X )= 25 . Найти вероятность того, что отклонение значений этой случайной величины от математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине 2.
22. По выборке А решить следующие задачи: |
|
|
|
|||||
а) |
составить вариационный ряд, |
|
|
|
||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|||||||
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
||||||||
среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану. |
||||||||
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона |
||||||||
соответствующей генеральной совокупности. |
|
|||||||
Выборка А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
3 |
3 |
4 |
3 |
|
|
|
2 |
4 |
2 |
1 |
4 |
3 |
|
|
|
1 |
4 |
0 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
4 |
3 |
7 |
1 |
3 |
3 |
|
|
|
3 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
1 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
0 |
5 |
2 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
0 |
3 |
3 |
4 |
3 |
1 |
|
|
|
3 |
2 |
5 |
4 |
3 |
1 |
|
|
23. По выборке В решить следующие задачи: |
|
|
|
|||||
а) |
составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму; |
|||||||
б) |
вычислить относительные и накопленные частоты, |
|||||||
в) |
построить эмпирическую функцию распределения и ее график, |
|||||||
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную |
||||||||
|
среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану. |
|||||||
д) |
при |
уровне |
значимости |
α = 0, 05 |
проверить гипотезу о нормальном |
|||
|
распределении соответствующей генеральной совокупности. |
|||||||
Выборка В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
59 |
60 |
50 |
58 |
71 |
57 |
61 |
|
55 |
75 |
68 |
65 |
64 |
63 |
68 |
60 |
|
66 |
52 |
70 |
69 |
62 |
58 |
56 |
54 |
|
54 |
69 |
72 |
62 |
63 |
56 |
59 |
67 |
|
62 |
64 |
68 |
68 |
71 |
67 |
69 |
56 |
|
62 |
60 |
62 |
65 |
72 |
65 |
67 |
64 |
|
59 |
59 |
67 |
68 |
72 |
74 |
69 |
60 |
|
69 |
61 |
64 |
67 |
62 |
65 |
69 |
67 |
|
71 |
71 |
61 |
63 |
61 |
62 |
64 |
68 |
|
62 |
64 |
62 |
68 |
64 |
63 |
62 |
61 |