2.2.3 Необходимое условие устойчивости.
Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго одного знака:
(3.8а)
или
(3.86)
Если условие (3.8а) или (3.86) не выполняется, то система неустойчива; если оно выполняется, система может быть устойчивой.
Так как коэффициент а0 ( ) всегда можно сделать положительным, дальше, если не оговаривается противное, в качестве необходимого условия устойчивости будем рассматривать условие (3.8а) и критерий устойчивости будем формулировать для случая а0 > 0.
Покажем справедливость необходимого условия устойчивости. Для этого представим характеристический полином в виде разложения
(3.9)
где — корни характеристического уравнения (нули характеристического полинома).
Действительному отрицательному корню в разложении (3.9) соответствует множитель . Паре комплексно-сопряженных; корней с отрицательной вещественной частью
соответствует множитель
представляющий собой полином второй степени с положительными коэффициентами. Следовательно, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то характеристический полином может быть представлен как произведение полиномов первой и второй степени с положительными коэффициентами, и соответственно все его коэффициенты при а0 > 0 будут положительными и при а0 < 0 — отрицательными.
Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Как отмечалось в гл. 2, практически все системы управления являются нелинейными, а линейные системы управления следует рассматривать как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем.
Линеаризация производится относительно заданного номинального режима y°(t), называемого в теории устойчивости невозмущенным движением. Невозмущенное движение y°(t) нелинейной системы называется асимптотически устойчивым, если существует некоторая окрестность вокруг невозмущенного движения такая, что любое возмущенное движение y(t), начинающееся в момент to окончания действия возмущения в этой окрестности, в дальнейшем не выходит из этой окрестности и y(t) y°(t) при
t -->
Возникает вопрос: можно ли судить об асимптотической устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы на основании исследования устойчивости ее линеаризованной модели? Впервые этот вопрос был поставлен и решен А.М. Ляпуновым в 1892 г. в его диссертационной работе.
Теоремы Ляпунова. 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной модели являются левыми, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы асимптотически устойчиво.
2. Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеется правый корень, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы неустойчиво.
3. Случай, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеются нейтральные корни (корни на мнимой оси), но нет правых корней, называют критическим. В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы.