2.1.3 Простейшие операции с матрицами.

Сложение матриц.

Если матрицы А и В одного порядка (m*n), где m и n — два заданные (не обязательно различные) целые числа, то суммой этих двух матриц служит матрица С = А+В, элемент которой определяется как

cij = aij + bij.

Сложение матриц коммутативно и ассоциативно, т. е.

А + В = В + А (коммутативность),

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

Вычитание матриц.

Разность матриц одного порядка, скажем (m*n), где m и n — два заданные не обязательно различные целые числа, равна матрице D = A—В, элемент которой определяется как

dij — ciij b-ij. (4,2.3)

Пример 4.2.2. Вычислить разность указанных матриц.

Равенство матриц. Две матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом,

А= В

только и если только аij = bij.

Умножение матриц. Определение произведения двух матриц А и В непосредственно следует из аппарата линейных преобразований. Рассмотрим линейное преобразование

y₁= a₁₁x₁+a₁₂x₂

y₂ = a₂₁x₂+a₂₂x₂

Элементы у₁ и у₂ можно рассматривать как составляющие вектора у. Подобным образом x₁ и х₂ могут рассматриваться как составляющие вектора х. Тогда уравнение может трактоваться как преобразование матрицей А вектора х в вектор у. Это преобразование можно записать в виде

y = Ах,

где

Умножение транспонированных матриц.

Произведение двух транспонированных матриц В^т и А^т равно транспонированному произведению исходных матриц В и А, взятых в обратном порядке, т. е.

В^тА^т= (АВ)^т.

Это легко показать, транспонируя матрицу С = АВ. Общий элемент произведения АВ задается в виде

Умножение на диагональную матрицу.

Умножение справа матрицы А на диагональную матрицу D эквивалентно операции со столбами А. При умножении слева матрицы А на диагональную матрицу D операции производятся со строками А. Очевидно,, что умножение слева или справа, на единичную матрицу I не (изменяет исходную матрицу, т. е.

IА = АI=А.

2.2 Устойчивость систем управления.

Устойчивость является одним из основных требований к системам автоматического управления (САУ). Поэтому важно уметь определять (исследовать) и соответствующим выбором структуры и параметров системы управления обеспечивать ее устойчивость.

В данной главе будут рассмотрены определение устойчивости, условия и различные критерии устойчивости.

2.2.1Определение и условия устойчивости

Если на систему управления действуют два внешних воздействия — задающее воздействие д и возмущение , — то в общем случае она описывается уравнением

(3.1а)

или, в символической форме,

. (3.16)

Учитывая, что и — некоторые функции времени, выполнив необходимые операции в правой части, получим

(3.2а)

где и — функции, получаемые соответственно из первого

и второго слагаемого в правой части уравнения (3.16).

Из уравнения (3.16) при и получаем однородное дифференциальное уравнение

(3.26)

3.1.1. Определение устойчивости. Назначением систем управления является поддержание некоторого заданного режима, называемого невозмущенным движением. Если на систему действует возмущение, то фактическое движение (которое называется возмущенным движением) будет отличаться от невозмущенного движения. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение y(t) с течением времени стремится к невозмущенному движению y(t) y_н (t) при t .

Линейная система управления называется устойчивой или асимптотически устойчивой, если любое ее невозмущенное движение, определяемое задающим воздействием, асимптотически устойчиво.

Общее решение уравнения (3.2а) имеет вид

y(t) = y_в(t) +yс(t), (3.3)

где y_в(t) — частное решение уравнения (3.2а), y_с(t) — общее решение однородного уравнения (3.26).

Частное решение yB(t) можно представить (в силу принципа суперпозиции) в виде

y_в(t) = y_g(t)+y_f(t),

где y_g(t) — частное решение уравнения (3.2а) при (t) = 0, y_f(t) — частное решение этого уравнения при (t) = 0.

Общее решение y_c(t) однородного уравнения описывает свободное движение системы управления (т. е. движение при отсутствии внешних воздействий), определяемое только начальными условиями. Частное решение y_b(t) описывает вынужденное движение, определяемое внешними воздействиями. В частности, при отсутствии возмущающего воздействия ( ) частное решение y_b(t) = y_g(t) описывает невозмущенное движение: y_b(t) = y_b(t). Таким образом, если после начального момента to возмущение перестает действовать, решение (3.3) можно записать в виде

y(t)=y_н(t)+y_с(t) (t>=t₀).

Возмущение, которое действует до начального момента t₀, влияет на начальные условия, от которых зависит только свободное движение. Поэтому для того чтобы возмущенное движение было асимптотически устойчиво (т.е. для y(t) —У y_b(t) при t —> оо), необходимо и достаточно, чтобы

lim y_c(t) = 0. (3.4)

Это соотношение можно принять за математическое определение устойчивости (асимптотической устойчивости) линейных стационарных систем управления.

2.2.2 Основное условие устойчивости.

Характеристическое уравнение системы управления, которая описывается уравнением (3.1), совпадает с характеристическим уравнением дифференциальных уравнений (3.2) и имеет вид. Левая часть этого уравнения называется характеристическим полиномом. Характеристический полином получается из собственного оператора системы

при подстановке

Если — корни характеристического уравнения кратности

то общее решение однородного уравнения у_c имеет вид

(3.6)

Где — постоянные интегрирования. В частном случае, когда все корни простые,

По правилу Лопиталя можно показать, что при тогда и только тогда, когда действительная часть корня отрицательна: < 0. Поэтому правая часть в (3.6) будет стремиться к нулю при , т. е. будет выполнено (необходимое и достаточное) условие устойчивости (3.4), если

(3.7)

Это условие является основным условием устойчивости. Оно непосредственно вытекает из математического определения устойчивости.

Основное условие устойчивости. Для того чтобы система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.

На комплексной плоскости корни, имеющие отрицательную вещественную часть, располагаются в левой полуплоскости и поэтому называются левыми; корни, имеющие положительную вещественную часть, располагаются в правой полуплоскости и называются правыми; а корни, расположенные на мнимой оси, называются нейтральными.

Таким образом, основное условие устойчивости можно также сформулировать следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (нули характеристического полинома) были левыми.

Согласно основному условию устойчивости определение устойчивости сводится к исследованию корней характеристического уравнения. Однако для этого нет необходимости вычислять эти корни. Существуют различные критерии устойчивости, которые позволяют судить о том, находятся ли корни полинома в левой полуплоскости, не вычисляя их.