ЛР3ст

6.

ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ СКАТЫВАНИИ ТЕЛ ПО ОТВЕСНЫМ НИТЯМ НА УСТАНОВКЕ МАКСВЕЛЛА

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

2008

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО TEЛA НА УСТАНОВКЕ МАКСВЕЛЛА

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Ознакомление с условиями качения тел на установке Максвелла.

1. 2. Изучение кинематики и динамики при скатывании Диска Максвелла по отвесным нитям (будем в дальнейшем обозначать буквой «Д» Диск Максвелла как сборное изделие, а буквой «д» один из его элементов – диск).

1.3. Определение линейных и угловых скоростей и ускорений, моментов инерции, средней силы натяжения нитей.

2. ПРИБОРЫ И ИНСТРУМЕНТЫ

2.1. Секундомер

2.2. Линейка метрическая.

2.3. Штангенциркуль.

2.4. Кольцо.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Установка Максвелла представляет собой однородный диск, насаженный на цилиндрический вал, центры масс диска и вала лежат на оси вращения, на диск может насаживаться съёмное кольцо (в дальнейшем будем обозначать это устройство в целом «Диском Максвелла», а входящий в него отдельный элемент «диском».

На вал радиусом r_в намотаны нити, концы которых закреплены на кронштейне. При разматывании нитей Диск Максвелла совершает плоское движение (плоским называют такое движение, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях). Плоское движение складывается из поступательного движения центра масс вдоль оси OY и вращения относительно оси симметрии 0'Z, проходящей через центр масс. При движении Диска Максвелла происходит процесс пере­хода потенциальной энергии в кинетическую и обратно (разумеется, механическая энергия постепенно убывает в результате действия сил трения (рис. 1).

Плоское движение твёрдого тела можно представить как сумму двух движений - поступательного движения центра масс со скоростью v и вращательного движения с угловой ско­ростью относительно оси O'Z, проходящей через центр масс Диска Максвелла.

Согласно теореме о движении центра масс центр масс движения - это материальная точка, масса которой равна массе системы, а действующая на неё сила равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему:

Здесь индекс С обозначает центр масс системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения для Диска Максвелла относительно мгновенной оси O'Z, про­ходящей через центр масс, имеет вид:

Здесь I_ДZ - момент инерции Диска относительно оси O'Z;

ε_Z- проекция углового ускорения на ось O'Z;

левая часть - алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси O'Z. Заметим, что момент силы принято считать положительным, если эта сила приводит к вращению тела против часо­вой стрелки.

Если нить не проскальзывает, то скорость центра масс Диска и угловая скорость ω связаны кинематическим соотношением

2.1. Определение момента инерции Диска Максвелла

2.I.I. Постановка задачи

Определить момент инерции Диска Максвелла, масса которого равна m, радиус вала равен r_в. При движении вниз Диск проходит расстояние h за время τ.

2.1.2. Указания к решению

Уравнения поступательного и вращательного движения для Диска Максвелла (см. рис.1) имеют вид

- m_Д a = 2 Т - m_Д· g (I)

I_Д ε = 2 Т· r_в ( 2 )

Отметим, что если нить не проскальзывает во время движения, то

a = ε· r_в (3)

Отметим, что здесь и в дальнейшем индексы Z и С опущены.

Запишем кинематическое соотношение между h и τ:

(4)

Решая систему (I) - (4), пoлvчим экспериментальное значение момента инерции Диска:

(5)

Здесь d_в = 2 r_в - диаметр вала; m_Д = m_в + m_д + m_к, где индексы обозначают соответственно «Диск», «вал», «диск» и «кольцо».

Полученный результат сравниваем со значением момента инерции, определяемым из теоретических соображений. Диск Максвелла состоит из элементов правильной геометрической формы (вала, диска и съёмного кольца), материал диска – однородный. При этом момент инерции Диска Максвелла равен сумме моментов инерции входящих в него элементов и его можно рассчитать по формуле:

I_Д = Iв + Iд + Iк (6)

Здесь Д – индекс, обозначающий диск как составное изделие, д – индекс, обозначающий входящий в него отдельный элемент «диск».

Проводя расчёты с использованием формулы для определения момента инерции

(7)

найдём моменты инерции элементов Диска Максвелла:

- момент инерции вала

(8)

- момент инерции однородного диска

(9)

- момент инерции кольца

(10)

Здесь d₁ = 2 r₁ - внутренний диаметр кольца;

d₂ = 2 r₂ - внешний диаметр кольца.

В (8) – (10) m_в, m_д и m_к - массы вала, диска и кольца соответственно.

2.2. Определение моментов инерции элементов Диска Максвелла с использованием закона сохранения ме­ханической энергии

2.2.1. Постановка задачи

Используя закон сохранения механической энергии, опре­делить моменты инерции элементов Диска Максвелла. Масса Диска Максвелла m_Д, радиус вала r_в, расстояние h Диск проходит за время τ.

2.2.2. Указания к решению

Примем потенциальную энергию Диска Максвелла Wп₂ = О в положении, когда он находится в нижней точке. Его кинети­ческая энергия в этом положении

(11)

Здесь - скорость центра масс Диска;

ω - угловая скорость;

I_Д - момент инерции Диска относительно оси, про­ходящей через его центр масс.

В верхнем положении Диска его потенциальная энергия

Wп₁ = m_Д g h ,

а кинетическая энергия равна нулю. Из закона сохранения ме­ханической энергии для Диска Максвелла (диссипативными силами, т. е. силами трения, сопротивления воздуха и т. п. пренебрегаем) следует

(12)

Так как центр масс Диска Максвелла движется прямоли­нейно и равноускоренно, то

, = a τ (13)

Из (13) получим

(14)

Подставляя соотношения (13) и (14) в (12) и используя соотношение = ω r_в между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения Диска относительно оси симметрии, получим формулу для расчёта момента инерции Диска Максвелла

(15)

Соотношение (15) запишем в виде

(16)

Момент инерции - аддитивная величина, поэтому из (16) получим:

- момент инерции кольца, (17)

- момент инерции вала, (18)

- момент инерции диска. (19)

Соотношения (17) - (19) позволяют рассчитать эксперимен­тальные значения для моментов инерции составляющих элементов Диска. Результаты следует сравнить с результатами расчёта по теоретическим формулам (8) - (10).

2.3. Определение средней силы натяжения нитей в момент "рывка" при движении Диска Максвелла

2.3.1. Постановка задачи

Определить среднюю силу натяжения нитей в Диске Максвелла при его равноускоренном движении и во время "рывка", когда Диск достигает нижней точки траектории. Масса Диска m_Д, радиус вала r_в, путь h Диск проходит за время τ (рис.1).

2.3.2. Указания к решению

Из рис.2 видно, что скорость це­нтра масс Диска Максвелла начинает уменьшаться начиная с момента, когда нити полностью раскручены и точки их закрепления находятся в положении В_1.. В тот момент, когда точки закрепления нитей занимают положение В₂, скорость центра масс оказывается равной нулю, а когда точки закрепления нитей займут положение В₃ (нити начинают наматываться на вал), скорость центра масс Диска изменит своё направление, причём ‌‌‌‌‌‌.

Отсюда следует, что за время половины оборота вала импульс сил, действующих на Диск, равен

Здесь - среднее значение суммарной силы, действующей на Диск в процессе изменения направления движения. В результате получим:

(2T_ср– m_Д g)Δτ = 2m_Д (20)

Здесь = = ;

T_ср - средняя сила натяжения нити за время "рывка".

Время половины оборота, за которое происходит «рывок», приближённо равно

(21)

Здесь r_в - радиус вала;

- максимальная скорость центра масс Диска.

Движение Диска Максвелла описывается системой уравнений

- m_Д a = 2T – m_Д g (22)

I_Д ε = 2 T r_в (23)

(24)

Из (22) и (23) следует, что при движении Диска Максвелла сила натяжения нити равна

, (25)

где момент инерции Диска I_Д определяется соотношением (15). Максимальную скорость центра масс Диска в нижнем положении определим из (24)

(26)

Из (20), (21) и (26) следует, что средняя сила натяже­ния нити при "рывке" приближённо равна

(27)

Рис.2.

Схема сил, действующих на Диск Максвелла

Рис. 3

Схема экспериментальной установки

3. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Схема экспериментальной установки представлена на рис.3. На вертикаль-

ной стойке 1 закреплены кронштейны 2 и 3. На кронштейне 2 смонтировано уст-

ройство 5 для крепления и регулировки длины нитей подвеса, а на кронштейне

3 – фотодатчик 9 и светодиод. Диск Максвелла представляет собой составное

изделие, состоящее из вала 7 и собственно диска 6, насаженного на этот вал.

На диск может быть установлено съёмное кольцо.

На стойке 1 закреплена метрическая шкала 4 , позволяющая определить рас-

стояние (высоту), на которую опускается центр масс Диска Максвелла при

его движении. Время движения Диска от верхнего до нижнего положения

измеряется с помощью электросекундомера 8 с цифровой индексацией. После

включения секундомера в сеть ≈ 220 В подготовка его к работе осуществляется

нажатием клавиши «СЕТЬ», а работа счётчика времени начинается после нажа-

тия клавиши «ПУСК».

Пуск осуществляется из верхнего положения Диска одновременно с нача-

лом его движения вниз. Остановка счёта времени происходит автоматически при

помощи фотодатчика в момент пересечения нижней кромкой Диска светового

луча от светодиода.

Кронштейн 3 можно перемещать по вертикали и по окружности для наст-

ройки установки перед началом работы.

4. ЗАДАНИЕ НА ПРОВЕДЕНИЕ РАБОТЫ

На данной установке студенты могут выполнить задания 2.1, 2.2 и 2.3,

в которых опытным путём определяются момент инерции Диска Максвелла,

моменты инерции элементов Диска и средняя сила натяжения нити подвеса

в момент «рывка».

Вариант задания и количество измерений n определяет преподаватель

для каждого студента индивидуально.

Ниже подробно приводится порядок выполнения работы в задании 2.1. Для всех остальных заданий студенты должны предва­рительно продумать, какие дополнительные измерения им необходимо провести, продумать заголовки и структуру дополнительных таблиц (если они необходимы), а также самостоятельно вывести соотношения для оценки погрешностей измерений. При выводе соотно­шений для оценки погрешности пользоваться материалом п.3 теоретического введения.

5. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ В ЗАДАНИИ 2.1

5.1. Подключить прибор к сети ≈ 220 В, после чего включить его клавишей «СЕТЬ», при этом должна загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера.

5.2. Надеть на диск съёмное кольцо, после чего переместить и закрепить кронштейн 3 так, чтобы луч от светодиода высвечивал на нижнем крае кольца половину светового круга, а Диск оказался на оси кронштейна. По метке на кронштейне записать показание линейки Z₁, до которого опустится диск после нажатия клавиши «ПУСК».

5.3. Вращая обеими руками вал диска от себя, наматывать нить витками к диску (внутрь) до упора вала в верхний кронштейн. В этом положении сблизить витки нитей друг к другу без зазоров и удерживать диск пальцем снизу.

5.4. C помощью угольника записать показание линейки Z₀ (скользя одним из катетов угольника по линейке, подвести другой катет под кольцо).

5.5. Нажать клавишу «СБРОС» (цифровые индикаторы должны показать нули), затем резко убрать вниз палец из-под диска и одновременно нажать клавишу «ПУСК» - эту операцию выполняет один человек! Диск начинает вращаться и двигаться вниз, одновременно начинается счёт времени движения.

5.6. Сразу же после одного полного цикла (спуск-подъём) остановить маятник в нижнем положении. Записать в таблицу 1 показание миллисекундомера (время τ).

5.7. Повторить операции по пунктам 5.4-5.6 заданное количество (n) раз.

5.8. Измерить штангенциркулем заданное количество раз в разных местах диаметр dв вала, внутренний d₁ и наружный d₂ диаметры кольца. Данные записать в таблицы 2 и 3 соответственно.

6. ДАННЫЕ УСТАНОВКИ

Масса вала m_в = 26,0 г.

Масса диска m_д = 115,2 г.

Масса кольца m_к = 205 5 г.

Массы измерены с одинаковой погрешностью Δm = 0,1 г.

Диск проходит расстояние h = (Z₁ – Z₀) мм, Δh = 2 мм.

Таблица 1

Количество измерений, n	Вр В Время спуска τi, , с	(‹τ› - τi), с	(‹τ› - τi)2, c2
1
2
«
	‹τ› =		∑=

Таблица 2

Количество измерений, n	Диаметр вала dвi, мм	‹dв› - dвi, мм	(‹dв› - dвi)2, мм2
1
2
«
	‹dв›=		∑=

Таблица 3

Количество измерений, n	Внутр. диаметр кольца d1i, мм	‹d1 ›- d1i мм	(‹d1 › - d1i)2 мм2	Внешн. диаметр кольца d2i, мм	‹d2› - d2i мм	(‹d2›-d2i)2 мм2
1
2
«
	‹d1›=		∑=	‹d2›=		∑=

7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

7.1.Выполнить статистическую обработку результатов прямых измерений, то есть рассчитать и внести в таблицы значения ‹x›, (‹x› - x_i), (‹x› -x_i)², где x – это τ, d_в, d₁, d₂.

7.2. Рассчитать момент инерции диска Максвелла по форму­ле (5).

7.3. Рассчитать косвенную погрешность измерения момента инерции I_э.

7.4. По формулам (6) – (10) рассчитать значение I_теор.

7.5.При расчёте погрешностей руководствоваться методическими указаниями № 100. Значение доверительной вероятности принять равным 0,95.

7.6. Рассчитать косвенную погрешность I_теор.

7.7. Записать результаты с учётом полученных значений погрешностей измерений в системе единиц измерений «СИ». Проанализировать результаты.