- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
Пусть дана квадратная матрица А порядка n
Определение 1. Всякий ненулевой вектор Х, удовлетворяющий условию А·Х = λ·Х называется собственным вектором матрицы А, а соответствующее ему число λ – собственным значением матрицы А.
А·Х - λ·Х = 0, А·Х - λ·Е·Х = 0, ( А - λ·Е )· Х = 0,
где Е – единичная матрица, а вектор Х =.
Матричное уравнение ( А - λ·Е )· Х = 0 имеет вид при переходе к покоординатному равенству:
(1)
Нас интересуют ненулевые решения однородной системы, поэтому приравняем определитель однородной системы к нулю: det ( A – λE)=0
или = 0 (2)
Левая часть уравнения (2) называется характеристическим многочленом матрицы А: det ( A – λE). Это многочлен n – ой степени, он может иметь не более n действительных корней.
Действительные корни этого многочленаявляются собственными значениями матрицы А.
При последовательной подстановке в систему (1) для каждого λ находится ненулевое решение однородной системы (2) – собственный вектор линейного преобразования, заданного матрицей А.
Алгоритм нахождения собственных векторов
Составить матрицу А- λЕ и характеристическое уравнение det ( A – λE)=0.
Найти корни характеристического уравнения :.
Подставить значение корня в однородную систему (2) и найти соответствующий собственный вектор.
Пример. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы
А =
Решение
Составим матрицу А- λЕ =и перейдем в соотношении ( А - λ·Е )· Х = 0 к покоординатному равенству
(3)
где координаты собственного вектора Х.
Составим характеристическое уравнение матрицы А для нахождения собственных значений:
det ( A – λE) = 0 или .
Имеем det ( A – λE) = (4-λ)
=- .
Характеристическое уравнение - имеет действительные корни
Найдем собственный вектор , отвечающий собственному значениюдля чего это значение λ = 0 подставим в однородную систему (3)
Приопределитель этой системы равен нулю, поэтому однородная система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Найдем их методом Гаусса
4С2 – 5С1→С2/ С3-С2→С3/
2С3 - 3С1 →С3/
Получим равносильную систему трапецеидального вида:
или
Положим х3 = 3t, тогда х2= 2 t, х1= t, получим собственный вектор
, где t.
Рассуждая аналогично, получим при
Найдем ненулевые решения этой системы
С3:3→С1/ 2С2-5С1→С2/ С3-С2→С3/
С1→С3/ 2С3-3С1→С3/
Имеем однородную систему откуда следует
2х1 = 3х2-х3=3х3-х3=2х3 или .
Положим получим собственный вектор, гдеs.
Ответ:
, где t;
, , гдеs.
3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов является задача создания модели межотраслевого баланса. Модель эта называется моделью Леонтьева (по имени ее создателя) и активно используется для управления народным хозяйством.
Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).
Введем следующие обозначения:
xi — общий (валовый) объем продукции i-й отрасли за данный промежуток времени;
xij — объем продукции i-й отрасли, расходуемой j-й отраслью в процессе производства ;
yi — объем продукции i-й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере — объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей производственной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.
Указанные величины можно свести в таблицу.
Производственное потребление |
Конечное потребление |
Валовый выпуск |
х11 х12 ... х1n x21 x22 ... x2n .............................. xn1 xn2 ... xnn |
y1 y2 ... yn |
x1 x2 ... xn
|
Так как валовый объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то
(1)
Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение.
Введем коэффициенты прямых затрат , показывающие затраты продукцииi-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.
Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными, это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.
,
вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса называется линейной. Соотношения баланса (1) примут вид:
(2)
или в матричной записи
Х = А · Х + У, (3)
где , Х = , У = ,
А — матрица прямых затрат, Х — вектор валового выпуска, У — вектор конечного потребления.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного потребления У. Перепишем уравнение (3) в виде Х – АХ = У, или Е · Х – А · Х = У, (Е – А) ·Х = У, откуда
Х = (Е – А)–1 ·Y. (4)
Матрица (Е – А)–1 называется матрицей полных затрат. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательными при yi 0 и aij 0, где .
Матрица А 0 называется продуктивной, если для любого вектора У 0 существует решение Х 0 уравнения (3). В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.
Теорема 1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)–1 существует и ее элементы неотрицательны.
Теорема 2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
,
причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Пример
№ п/п |
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт, У |
Валовый выпуск, Х | ||
1 |
2 |
3 | ||||
1.
|
Добыча и переработка углеводородов
|
5
|
35
|
20
|
40
|
100
|
2. |
Энергетика |
10 |
10 |
20 |
30 |
70 |
3. |
Машиностроение |
20 |
10 |
10 |
10 |
50 |
Решение
1. По таблице баланса трех отраслей промышленности составим матрицу А прямых затрат А = (aij), где ,
2. Проверим продуктивность матрицы А (по теореме 2)
Так как сумма элементов по любому столбцу не превосходит единицы, и есть столбец, в котором сумма элементов меньше 1, то матрица А продуктивна.
3. Найдем матрицу полных затрат (Е – А)–1. Составим матрицу:
.
Вычислим определитель матрицы Е – А:
Построим матрицу алгебраических дополнений матрицы Е – А = В:
.
.
Союзная матрица
Матрица полных затрат
Проверка:
4. Найдем объем валового выпуска Х* по каждой отрасли, если конечное потребление У увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%, тогда конечный продукт . Согласно формуле (4)
Таким образом, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта соответственно на 30, 10, 50% необходимо увеличить соответствующие валовые выпускидобычу и переработку углеводородов на 26,26%, уровень энергетики на 19,54% и выпуск продукции машиностроения на 30,52% по сравнению с исходными величинами, указанными в таблице.
Ответ:
1) матрица А прямых затрат:
;
2) матрица полных затрат:
;
если конечное потребление увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%, то прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли составит соответственно 26,26; 19,54; 30,52%.