- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
Лекция 15. Математические структуры
15.1. Понятие структуры
15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
15.3. Матричные алгебраические структуры
15.1. Понятие структуры
Проникновение методов одних наук в другие в наши дни происходит в невиданных ранее масштабах. Методы математики находят применение в лингвистике, биологии, экономике, технике, социологии, строительстве. Вместо того, чтобы как прежде рассматривать «индивидуальные» задачи, исследователи обратились к решению «массовых» задач.
Так, например, в лингвистике возник вопрос о выяснении общей структуры языков. При проектировании заводов целесообразно сосредоточить внимание на типовое проектирование. При анализе работы ЭВМ используют общие признаки работы машин.
В этих случаях мы отвлекаемся от конкретных особенностей основных свойств – такой подход к изучению различных областей науки называется аксиоматическим методом.
Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Например, в геометрии Евклида (III в. до н.э.) пятая аксиома- через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну прямую, параллельную данной:
а в геометрии Лобачевского пятая аксиома - через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной:
Развитие аксиоматического метода в алгебре привело к созданию новой математической теории – абстрактной алгебры, которая включает в себя также разделы, как теория групп, теория колец, теория поля, векторная алгебра, тензорная алгебра.
Аксиоматическая точка зрения отличается формальным подходом к построению теории:
перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;
указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;
с помощью определений вводятся дальнейшие понятия;
исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся дальнейшие факты – теоремы.
Проблема непротиворечивости и полноты системы аксиом решается методом моделирования или интерпретации.
Метод математической индукции – особый метод рассуждений:
а) утверждение справедливо при n = 1;
б) при n = k утверждение справедливо, если удается доказать, что утверждение справедливо при n = k +1, то оно справедливо при любом натуральном n.
Доказательство: 1) Sn = 1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n2
n3 – 4 > 1000n2 + 3n верно при любом n ≥ 2000.
Определение 1. Структурой называется тройка , где Е – некоторое множество элементовa, b, c … , a - две двухместные операции, удовлетворяющие аксиомам:
a a = a и a a = a ,
a b = b a и a b = ba ,
(a b) с = a bс) и (a b) с = a bс ) ,
(a b) а = а и (a b)
Например, все подмножества некоторого множества с операциями объединения и пересечения образуют структуру.
15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
«Математические структуры – родовое название, объединяющее понятия, которые применимы к множествам, природа элементов которых не определена. Чтобы определить структуру, задают отношения, в которых находятся элементы множества, затем полагают, что данные отношения удовлетворяют условиям – аксиомам структуры.»
Алгебраическая структура – это система < А; f1, f2 , … fn ,… >, первый элемент которой А – множество, ; f1, f2 , … fn ,…– заданные на этом множестве операции.
Раздел алгебры, занимающийся изучением общих свойств алгебраических структур, называется общей алгеброй.
Определение 1. Группа – это пара < А, f >, где А – некоторое множество, а f – бинарная (двухместная) операция, удовлетворяющая аксиомам:
f ассоциативна f (f (a, b), c) = f (a, f (b, c)) ,
существует единичный элемент e такой , что
f (e, a) = f (a, e) = a
существует обратный элемент: a-1 :
f (a, a-1) = f (a-1, a) = e .
Операция f называется групповой операцией (или групповым умножением), элементы множества А –называются элементами группы.
Во всякой группе единичный элемент однозначно определен, и для каждого элемента группы существует единственный обратный элемент: a-1
Определение 2. Группа < А, f > называется коммутативной, если
f (a, b) = f (b, a) .
Примеры групп:
Множество < Z ,+ > целых чисел с операцией сложения образует коммутативную группу,
Множество < Q ,+ > рациональных чисел образует коммутативную группу по сложению,
Множество < Q\{0}, ∙ > рациональных чисел отличных от нуля образует коммутативную группу по умножению,
Множество < Q+ ,∙ > рациональных положительных чисел образует коммутативную группу по умножению,
Множество < R ,+ > всех действительных чисел образует коммутативную группу по сложению,
Множество < R\{0}, ∙ > всех действительных отличных от нуля чисел образует коммутативную группу по умножению,
Множество всех векторов на плоскости (или в пространстве) образует коммутативную группу по сложению.
Замечание. Множество < Z ,∙ > целых чисел не образует группу по умножению.
Определение 3. Пара <А, f > называется полугруппой, если А– некоторое множество, а f –двухместная ассоциативная операция на этом множестве
f ( f (a,b), c) = f ( a, ( f (b,c) ).
Понятие полугруппы более широкое, чем понятие группы. Если на каком-то множестве чисел А определены операции сложения или умножения (не выводящие за пределы множества), то это множество образует относительно заданной операции полугруппу.
Определение 4. Группа <Н, h> называется подгруппой группы <А, f >, если H C A и h = f на множестве H (операции h и f совпадают на множестве H ).
Примеры: 1) в группе < Z ,+ > выделим подгруппы
а) < множество четных чисел ,+ > , нуль – четное число, обратное к четному – четное число,
б) < множество, содержащее только 0 , + > ,
в) < множество всех целых чисел , + > ;
2) в группе < R ,+ > выделим подгруппы
а) < Z ,+ > ,
б) все подгруппы целых чисел по сложению,
в) < рациональные числа, представимые в виде дробей с нечетными знаменателями ,+ >, если знаменатели чисел нечетные, то их суммаимеет нечетный знаменатель, 0 =, и противоположное число -имеет нечетный знаменатель.
Единичная подгруппа и вся группа называются тривиальными подгруппами.
Определение 5. Кольцо – это тройка < А , + , > , где на множестве А заданы операции сложения и умножения, причем
по сложению - это коммутативная группа a+b = b +a ,
по умножению - это полугруппа ( а ∙ в ) ∙ с= а ∙ ( в ∙ с ) ,
и выполняется закон дистрибутивности (a + b) ∙ c = a ∙ с + b ∙ c .
Если операция умножения коммутативна, то говорят, что кольцо коммутативно. Итак, в коммутативном кольце:
a+b = b +a ,
( а + в ) + с = а + ( в + с ) ,
а + 0 = a ,
а + ( - а ) = 0 ,
а ∙ в = в ∙ а ,
( а ∙ в ) ∙ с= а ∙ ( в ∙ с ) ,
(a + b) ∙ c = a ∙ с + b ∙ c..
Аксиомы 1) – 4) – это аксиомы коммутативной группы по сложению, а аксиомы 5) - 6)- это аксиомы коммутативной группы по умножению.
Примеры колец:
кольцо рациональных чисел,
кольцо четных чисел ,
кольцо действительных чисел,
кольцо многочленов с целочисленными коэффициентами,
множество многочленов с рациональными коэффициентами ,
множество числовых функций с обычными операциями сложения и умножения.
Если в кольце есть единичный элемент е ∙ а = а ∙ е = а, тогда такое кольцо называется кольцом с единицей.
Определение 6. Поле – это кольцо, в котором для всех отличных от нуля элементов, существуют обратные.
Примеры полей:
кольцо рациональных чисел;
кольцо действительных чисел;
а + в , где а , в – рациональные числа.
Не являются полями:
1) кольцо целых чисел ,
2) кольцо четных чисел ,
3) кольцо многочленов ,
а + в , где а , в – целые числа.
В поле вместе с любыми двумя элементами находятся их сумма, разность, произведение и частное. Кольцо более широкое понятие, чем поле.