- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
Пусть А и В – два множества.
Определение1. Говорят, что задано отображение множества А во множество В, если каждому элементу a A поставлен в соответствие некоторым способом элемент b В.
f : А В , где f – закон, правило.
А В
Определение 2. Отображение f : А→ В называется суръективным или отображением «на», если для любого b В существует a A, такой что b = f (a). В этом случае каждый элемент b В соответствует какому-либо элементу множества А ( все места во множестве В заняты).
Определение 3. Отображение f : А→ В называется инъективным или отображением «в», если разным значениям a1 и a2 : a1 ≠ a2 соответствуют разные значения f (a1) и f (a2): f (a1) ≠ f (a2) (во множестве В есть свободные места).
В
Определение 4. Отображение f : А→ В называется биективным или взаимно однозначным, если оно является одновременно отображением «в» и отображением «на», т.е. каждому a A ставится в соответствие один элемент b В, и каждый b В соответствует одному и только одному элементу a A.
Если А и В – числовые множества, то отображение f : А→ В называется функцией, множество А – областью определения, а множество В – множеством значений.
Определение 5. Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Например, эквивалентными множествами являются множество действительных чисел R и множество точек на прямой.
Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число элементов.
В бесконечных множествах пересчитать все элементы невозможно. При сравнении бесконечных множеств нам поможет отношение эквивалентности. Оно выделяет среди всех множеств (как конечных, так и бесконечных) те множества, которые обладают общим свойством (это свойство назовем мощностью множества). Понятие мощности ввел в теорию множеств немецкий математик Георг Кантор.
«Мощность множества» является распространением понятия «количество элементов множества» на бесконечные множества.
Будем говорить, что все эквивалентные между собою множества имеют одинаковую мощность.
Для конечного множества мощность – это количество его элементов.
Для счетных множеств – это мощность множества натуральных чисел.
Мощность континуум – мощность ??? всех действительных чисел «непрерывный».
9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
Рассмотрим множество действительных чисел R=(и его основные подмножества:
а) N – множество натуральных чисел , N = { 1, 2, 3, …….}
б) Z - множество целых чисел, Z = {0; +1, +2, +3, ….}
в) Q – Множество рациональных чисел
Q
= {m/n,
где m,
n
є Z,
дробь m/n
– несократимая},
г) J = R \ Q – множество иррациональных чисел;
д) множество последовательностей { а1, а2, … аn, …, аn є R, n є N }.
Заметим, что N C Z C Q C R
е) Числовые промежутки:
интервал (a, b) = { x є R: a < x < b },
отрезок [ a, b ] = { x є R: a ≤ x ≤ b };
интервалы смешанного типа
[ a, b ) = (a, b) {a}и ( a, b ] = (a, b) {b};
Бесконечные промежутки
( - ∞, a) = { x є R: x < a } и ( - ∞, a] = { x є R: x ≤ a },
(a, +∞) = {x є R: x > a } и [a, +∞)) = {x є R: x ≥ a },
а также (-∞, +∞) = R.