- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
Канонические формы, полученные разными способами, обладают некоторыми общими свойствами.
1) Закон инерции: число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах переменных в канонической форме не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду.
2) Свойство ранга: ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не изменяется при линейных преобразованиях.
Определение1. Квадратичная форма f(x) называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора x ≠ 0 выполняется неравенствоf(x) > 0 ( f(x) 0 ).
Определение 2. Квадратичная форма f(x) называется положительно (отрицательно ) полуопределенной, если для любого ненулевого вектора
x ≠ 0 выполняется неравенство f(x) 0 ( f(x) 0 ).
Определение 3. Миноры, примыкающие к левому верхнему углу матрицы, называются угловыми. Например, матрица третьего порядка имеет угловые миноры
М1=а11, М2=. М3=.
Определение 4. Миноры, имеющие своей диагональю главную диагональ матрицы, называются главными. Приведем эквивалентное определение: главными называются миноры, расположенные в строках и столбцах с одинаковыми номерами. У матрицы третьего порядка семь таких миноров:
три главных минора первого порядка а11 , а22 , а33 ;
три главных минора второго порядка;
один главный минор третьего порядка .
Теорема 1. (Об определении знака квадратичной формы по собственным числам) Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы квадратичной формы были положительными (отрицательными).
При исследовании знака квадратичной формы иногда более удобно применять критерий английского математика, профессора Оксфордского университета Джеймса Джозефа Сильвестра (1814-1897).
Теорема 2. (Критерий Сильвестра об определении знака квадратичной формы по угловым минорам).
Для того чтобы квадратичная форма с матрицейбылаположительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её угловые миноры
М1=а11, М2=. …, Мn=
были положительны.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы её угловые миноры чередовали знаки, начиная с отрицательного.
Из четырех сформулированных в критерии утверждений докажем два наиболее важные для практического применения.
1) Если все угловые миноры положительны, квадратичная форма положительно определена.
Представим квадратичную форму в каноническом виде
f()= λ1 λ2 λn
Ее матрица имеет вид
А =
Угловые миноры равны М1=
М2=
…………………..
Мn=.
Поскольку все миноры положительны, то , но тогда
f(х)
2) Если миноры чередуют знаки, начиная с отрицательного, квадратичная форма отрицательно определена.
Из соотношения М1=и М1 следует, что, из того, что М2=вытекает, чтои т.д. Таким образом, все собственные значения отрицательны:.
Если для исследования знакоопределенности квадратичной формы используются угловые миноры, то для изучения полуопределенности применяются главные миноры матрицы квадратичной формы.
Приведем таблицу оценки знакоопределенности квадратичной формы.
Название формы |
Обозна- чение |
Оценка знакоопределенности формы | |
По минорам матрицы А |
По собственным значениям матрицы А | ||
Положительно определенная |
f(x) |
Все угловые миноры положительны: Мк |
Все собственные значения положительные |
Отрицательно определенная |
f(x) |
В угловых минорах чередуются знаки: (-1)к Мк |
Все собственные значения отрицательны |
Положительно полуопределенная |
f(x) |
Все главные миноры неотрицательны: |
Все собственные значения неотрицательные |
Отрицательно полуопределенная |
f(x) |
В главных минорах чередуются знаки |
Все собственные значения неположительные |
Неопределенная |
f(x)
|
|
Собственные значения имеют разные знаки |
Равная нулю |
f(x)=0 |
|
Все собственные значения равны нулю |
Пример. Квадратичную форму f(х) =
исследовать на знакоопределенность.
Решение. 1-й способ. Составим характеристическое уравнение для матрицы квадратичной формы
= - λ3 +16λ2-58λ+15=0.
Решив уравнение третьей степени, получим= 5,.
Собственные числа матрицы положительны, квадратичная форма является положительно определенной.
2-й способ. Найдем угловые миноры матрицы квадратичной формы :
М1= 7, М2=М3 =
Все угловые миноры положительны. По критерию Сильвестра имеем знакоположительную квадратичную форму.
3-й способ. Приведем квадратичную форму к каноническому виду с помощью алгебраических преобразований:
f(х) = =(.
Выражение представляет собой сумму квадратов и обращается в нуль только при х1 = х2 = х3 = 0. Тем самым для любого ненулевого вектора х выполняется неравенство f(x) Квадратичная форма положительно определенная.