- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
10.3. Операции с комплексными числами
Сумма двух комплексных чисел
определяется формулой:
1 + 2 = (1+2)+(1+2).
При этом их радиус-векторы складываются по правилам параллелограмма:
Аналогично 1 - 2 = (1-2)+(1-2).
Произведение комплексных чисел определяют следующим образом:
Произведение комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах имеет вид:
= .
Таким образом: , аArg() =Arg1 + Arg2.
При возведении в степень n комплексного числа его модуль возводится в степеньn, а аргумент увеличивается в n раз, то есть имеем:
При делении комплексных чисел в алгебраической форме пользуются умножением числителя и знаменателя дроби на число, сопряжённое к знаменателю , то есть.
Пример:
В тригонометрической форму при делении комплексных чисел получают:
(cos(1-2) + sin(1-2)), то есть , а
Arg = Arg1 - Arg2.
Определение. называется комплексное числоW, такое что .
Пусть ,r и известны,требуется определить.,. Два комплексных числа, записанные в показательной или тригонометрической формах равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на слагаемое, кратное, то естьОтсюда получим
и
k=0,1,2,…,n-1. Корень n-ой степени из комплексного числа имеетn различных значений, которые располагаются на окружности радиуса с центром в точке 0+0i, а аргументы двух соседних корней отличаются на слагаемое .
Лекция 11. Многочлены
11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби. Выделение целой части неправильной дроби
11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
Определение 1. Многочленом (полиномом) степени n от одной переменной называется выражение вида
(1)
(- действительные числа,n - целое неотрицательное число.
Многочлен нулевой степени (n=0) совпадает с постоянной.
Два многочлена считают равными, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях
Деление многочленов. Разделить многочлен на многочленQ(– значит найти многочлены М( частное) иN((остаток) такие, что при любомвыполняется равенствоQ(МN(, причем степень многочленаN(меньше степени многочленаQ(
Пример. 2,
где делитель Q(
N(.
Если остаток от деления N(тогдаQ(Ми говорят, чтоделится наQ(нацело.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на разность-а равен , т.е. –а) М.
Определение 2. Число , для которого, называется корнем многочлена.
Следствие. Если а – корень многочлена , то многочленделится нацело на разность-а , т.е. –а) М, где степень многочлена Мна единицу меньше степени многочлена
Разложение многочлена на множители
Если многочлен удается представить в виде произведения других многочленов, то говорят, что данный многочлен разложен на множители.
Основная теорема алгебры. Каждый многочлен степени n ( n имеет n корней ( в общем случае комплексных).
Следовательно, каждый многочлен степени n можно разложить на n линейных множителей:
,
.
могут оказаться одинаковые:
, числа кратности корней,.
Если корень α = β + γi многочлена с действительными коэффициентами имеет кратностьk , то корнем той же кратности k этого многочлена будет число = β - γi комплексно сопряженное с корнем α .
(х- α)(х-β + γi β - γi =((хβ) – γi)((β )+ γi )=
(хβ)2 – γ2 i2 = х2- 2 βх+ β2+γ2 = х2+px+q , где p= -2β, q= β2+γ2,
p2-4q
Вывод. Каждый многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения линейных множителей и квадратных трехчленов в степенях, равных кратностям корней:
=...,
где +=n , - 4j = 1,2,…, s