[Править]Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность

Отсутствие диктатора

Независимость от посторонних альтернатив

Эффективность по Парето, или принцип единогласия

если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.

Для N≥2 и n≥3 не существует системы голосования, которая отвечает всем четырём условиям.

[Править]Доказательство

Введем следующие обозначения:

≻_i - предпочтения i-го агента;

[≻^'] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W : Lⁿ → L - функция общественного благосостояния;

≻_W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Определение (Парето эффективность)

W парето эффективна, если для любых исходов o₁, o₂ ∈ O, ∀i (o₁ ≻_i o₂) ⇒ (o₁ ≻_W o₂)

Определение (независимость от посторонних альтернатив)

W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o₁, o₂ ∈ O и для любых двух профилей предпочтений [≻^'] и [≻^"] ∈ Lⁿ, ∀i (o₁ ≻_i^' o₂ ⇔ o₁ ≻_i^" o₂) ⇒ (o₁ ≻_W([≻^"_]) o₂ ⇔ o₁ ≻_W([≻^"_]) o₂)

Определение (отсутствие диктатора)

Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что ∀ o₁, o₂ ∈ O (o₁ ≻_i o₂ ⇒ o₁ ≻_W o₂ )

Теорема (Arrow)

Если |O| ≥ 3, то любая парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение

Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в ≻_W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [≻] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений ≻_i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ∈ O, что a ≻_W b и b ≻_W c. Изменим тогда профиль [≻] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ≻_i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [≻^']. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ≻_W b и b ≻_W c. Следовательно, в силу транзитивности ≻_W получаем a ≻_W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ≻_i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ≻_W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение

Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке ≻_W в самую верхнюю позицию в этом списке.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений ≻_i. Ясно, что и в ≻_W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n^* - агент, который переставив таким образом b, изменил ≻_W. Обозначим [≻¹] - профиль предпочтений как раз до того, как n^* переместил b, а [≻²] - профиль предпочтений сразу же после того, как n^* переместил b. Таким образом, в [≻²] исход b изменил свою позицию в ≻_W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции ≻_i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в ≻_W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение

n^* - диктатор над всеми парами <a,c>, не включающими в себя b.

Выберем из пары <a,c> любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [≻²] построим [≻³] следующим образом: в ≻^n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [≻¹] получим, что a ≻_W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [≻²] получим, что b ≻_W c. Тогда a ≻_W c. Теперь построим профиль предпочтений [≻⁴] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений ≻_i, для агента n^* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ≻_W c. Мы получили, что все агенты, кроме n^* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ≻_W c получился исходя только лишь из предположения, что a ≻_n^* c.

Этап 4. Утверждение

n^* - диктатор над всеми парами <a,b>.

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n^** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар <A,B>, где, в частности, A = a, B = b. Но n^* и сам может менять ранжирование в ≻_W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n^** совпадает с n^*. Доказательство завершено.

Б. Принцип “медианного избирателя”.

Теорема медианного избирателя

В отсутствие «блуждания» актуальность приобретает теорема медианного избирателя. Если речь идет о простом, «одномерном» случае, эта теорема означает следующее: если преференции всех избирателей имеют один максимум, при голосовании простым большинством побеждает идеальный (или наиболее предпочтительный) вариант, занимающий медианную точку шкалы распределения предпочтений. Это видно на рисунке 1, где представлены предпочтения избирателей Х1–Х5. Горизонтальная ось представляет собой различные альтернативы по «одномерному» вопросу — скажем, снижение или повышение ставки налога по шкале от 0 до 100%. Сила предпочтений каждого избирателя в отношении той или иной ставки налога обозначена соответствующей выпуклой кривой и измеряется на вертикальной оси. (Измерение производится «ординальным» способом, т.е. избиратели предпочитают ту или иную альтернативу «больше» или «меньше» — поэтому высота кривой полезности для каждого избирателя значения не имеет.)

Рисунок 1. Почему побеждает центрист? (иллюстрация теоремы медианного избирателя)

Возьмем избирателя Х3. Для него идеальная налоговая ставка составляет t3, что соответствует вершине соответствующей кривой полезности. Чем больше реальная ставка налога отличается от t3, тем меньше данный вариант ему нравится, т.е. его предпочтение имеет один максимум. То же самое относится и к другим четырем избирателям. По определению, вариант, идеальный для Х3, т.е. t3, представляет собой медианную величину среди идеальных вариантов для всех пяти избирателей.

Теперь теорему медианного избирателя понять нетрудно. При голосовании по принципу парного выбора не существует варианта, который может набрать больше голосов, чем t3 (если голосуют все избиратели). Представим, к примеру, что электорату предлагается выбирать между t2 и t3. Поскольку t3 представляет собой медианную величину, большинство избирателей (т.е. Х3 и те двое, что на графике располагаются справа от него) предпочтет ее любым более низким ставкам налогообложения. Напомним, что предпочтения в данном случае имеют один максимум, и что избиратель отдает предпочтение тем альтернативам, что находятся как можно ближе от его идеального варианта. Отметим, что это правило действует независимо от того, как идеальные варианты других избирателей располагаются вдоль континуума — медианная ставка всегда победит.

Это позволяет объяснить причины сходства политических платформ кандидатов-соперников, особенно при двухпартийной системе. Если на предстоящих президентских выборах президент Буш предложит вариант t2, а сенатор Керри — t5, избиратель Х3 получит большую пользу от t2, чем от t5. Таким образом, в этом парном голосовании победит t2. Поэтому, если Керри хочет выиграть выборы, он предложит t4, выйдя на один уровень с Бушем. Тот, в свою очередь, в интересах победы переместится еще ближе к t3, и Керри сделает то же самое. Таким образом, предложения обоих политиков будут стремиться к медианной точке.

За вычетом медианного избирателя весь остальной электорат недоволен результатами. Эта черта, свойственная голосованию (будь то выборы или референдумы), неотделима от процесса принятия коллективных решений. Если бы вопрос о том, на какой машине должны ездить все автомобилисты, определялся коллективно, выбор, вполне возможно, пал бы на Ford Taurus. Медианный избиратель был бы доволен (предположим, что он отдает предпочтение именно этой марке автомобиля), но все остальные хотели бы иметь другую машину.

В. Формирование коалиций.