19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :

. (2)

Опр 1. Квадратурная формула (2), обеспечивающая условие:

называется квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

Теорема 1. Пусть {P_k(x)}, k=0,1,…, - система ортогональных с весом многочленов на [a,b]. Для того чтобы формула (2) была квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, необходимо и достаточно, чтобы узлы совпадали с нулями многочленаP_n(x). При этом такая квадратурная формула - единственная.

Необходимость. Из теории ортогональных многочленов известно, что при выполнении условия (1) на весовую функцию, существует полная ортогональная на [a,b] c весом система алгебраических многочленов:, (3) где- символ Кронекера.

При этом все нули многочлена P_n(x) при действительны и расположены на [a,b].

Как и при выводе интерполяционных формул, обозначим - полиномn-ой степени, нули которого совпадают с узлами интерполяции. Рассмотрим функцию . Так как- алгебраический многочлен степени, то по условию теоремы формула (2) - точна, т.е.. Но т.к.то из (2)

ортогональна системе лишь коэффициентом при старшей степени отличается от многочлена- являются нулями полиномаP_n(x).

Достаточность. Пусть - нули полиномаP_n(x), и - полином степени. Требуется доказать, чтодля. Достаточно рассмотреть случай (если формула точна для многочлена степени, то она автоматически точна и для многочлена любой меньшей степени). Пусть . Представим этот многочлен в виде:, (4) где - многочлен-ой степени (частное от деленияна),,- многочленр-ой степени (остаток от деления). Т.к. - нули полинома, то из (4) следует, что , т.е. является интерполяционным многочленом для: , (5) где - фундаментальный многочлен Лагранжа- степени. Учитывая (4) и (5), распишем интеграл:

(6) Формула (6) - квадратурная формула интерполяционного типа, причем дляи, значит, и для любого многочлена степени, меньшей или равной. Единственность квадратурной формулы (2) следует из единственности выражений для нулейортогонального полиномаP_n(x).

20.

(6) Формула (6) - квадратурная формула интерполяционного типа, причем дляи, значит, и для любого многочлена степени, меньшей или равной.

Определение 2. Квадратурная формула (6) наивысшей алгебраической степени точности носит название формулы Гаусса-Кристоффеля, а весовые коэффициенты -коэффициенты Кристоффеля.

Теорема 2. Весовые коэффициенты Кристоффеля удовлетворяют следующим условиям:

1), 2)3). (7)По доказанному в теореме (в-19), формула (6) точна для многочленов порядка, в частности, для- свойство (2). Возьмем в качествеполином степени:, где- произвольный номер, а- фундаментальный многочлен Лагранжа, построенный по нуляммногочлена. Учитывая свойства многочленов, получим из (6):.

Из последнего равенства следует, в частности, что (свойство 1)). Кроме того заметим, что, т.к. эти два полинома имеют одну и ту же степень, коэффициент при старшей степени равен 1, и имеют одни и те же нулина отрезкеформула (7), т.е. свойство 3) доказано.

Замечание 1. Для остаточного члена квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля справедливо представление:

(8) где ,- нули полинома,(a,b). Без доказательства.

Замечание 2. Классические ортогональные многочлены обычно строятся для канонических промежутков: с соответствующими весами. Если- конечный промежуток, то его с помощью линейного преобразования . приводим к отрезку (). При этом:

. Приведем основную сводку квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля для основных канонических промежутков.

1. , - нули полиномов ЛежандраРекуррентные соотношения:

; или ,,.

2. , ,- нули полинома ЧебышеваРекуррентные соотношения:

,

,

3. ,

- нули полинома Лагерра .

Рекуррентные соотношения:

,,

4. , ;- нулиполинома Эрмита . Рекуррентные соотношения:

, .