6. Конечные разности.

Определение 1.Пусть - сетка узлов,- значения функцииf(x) в узлах

: значения называютсяразделенными разностями нулевого порядка функции f(x): значенияназываются разделенными разностями первого порядка функции f(x).: значенияназываютсяразделенными разностями второго порядка функции f(x).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : значенияназываются разделенными разностями n–го порядка функции f(x).

Простейшие свойства разделенных разностей.1.f(x₀, x₁, …, x_k) – симметричная функция своих аргументов, т.е. не меняется при любой перестановке аргументов.

Заметим, что любая разделенная разность есть линейная функция своих аргументов.

f(x₀, x₁, …, x_k) = . (устанавливается по индукции) => результат.

2.Если f(x)=P_n(x) – многочлен n-ой степени, то разделенные разности порядков  (n+1) равны нулю.

Заметим, что P_n(x, x₀) многочлен (n-1)-ой степени,

P_n(x, x₀, x₁) многочлен (n-2)-ой степени,

………………………………………………

P_n(x, x₀, x₁, …, x _n-1) - многочлен 0-ой степени (т.е. const),

P_n(x, x₀, x₁, …, x _n)  0.

………………………………………………

7.Интерполяционный многочлен Ньютона.

Рассмотрим многочлен n-ой степени вида(9)

Теорема 3.Многочлен (9) является интерполяционным для f(x) на сетке узлов , т.е., i=0, 1,…, n (10)

Рассмотрим разделенные разности многочлена Лагранжа :. (11)

Числитель в (11) – многочлен n -ой степени, обращающийся в 0 в т. . Следовательно, по теореме Безу числитель в (11) делится без остатка на, а, следовательно,-многочлен (n-1) -ой степени.

Из (11) находим. (12) Далее. (13) Числитель в (13) – многочлен степени(n-1) обращается в 0 при ,следовательно, делится набез остатка, L_n (x, x₀, x₁) - многочлен (n-2)-ой степени.Из (12) с учетом (13) находим

. (14)

Продолжая таким же образом далее и учитывая, что (n+1) - ая разделенная разность

L_n(x, x₀, …, x_n)  0, окончательно находим

(15)

Но по условию теоремы - интерполяционный многочлен дляf(x) , т.е.,i=0, 1,…, n .Следовательно, все разделенные разности для иf(x) совпадают, поэтому (15) можно переписать

(16)

т.е. получаем представление (9), что и требовалось доказать.

Замечание 1.Мы получили другую форму представления интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен (9) называется интерполяционным многочленом Ньютона и обозначается также - .

Замечание 2.Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа содержит значенияв явном виде. Это удобно, когда необходимо построить интерполяционный многочлен на тех же узлах, но для другой функции –g(x). Тогда значения достаточно заменить на.Многочленв форме Ньютона содержитнеявно (через разделенные разности).Однако, он удобен, когда для той же функцииf(x) необходимо увеличить порядок n. Тогда к исходному многочлену достаточно добавить несколько членов стандартного вида.