- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
Пусть требуется вычислить интеграл:,(1)где-весовая функция ( абсолютно интегрируема нас весом(x))
Рассмотрим сначала случай.
Определение. Квадратурной формулой n-го порядка для интеграла (1) называется выражение вида:,(2)где- веса квадратурной формулы,- узлы ,(узел),-остаточный член квадратурной формулы. Начнем с рассмотрения простого примера.
Пример 1.Пусть ,- строго выпукла на этом отрезке,,().Заменимконстантой на. Как ее выбрать? (т.е. приблизить функцию полиномом нулевой степениQ0(x)).1) Положим см. рисунок. Площадь-формула прямоугольника.
2) - что лучше?
3) Выберем таким образом, чтобы, причемmin в классе функций. Первый подход связан с приближением функции интерполяционным многочленом. Это наиболее простой путь получения квадратурных формул. Рассмотрим этот подход наиболее подробно. Положим, (3) где- многочлен Лагранжа, построенный по узлам, выбираемых пока произвольно. Как известно из теории интерполяции (Л-2), где (4)
(5)
- фундаментальные полиномы Лагранжа. Остаточный член интерполяционной формулы имеет вид (Л-2):,где
Из (3) и (4) (6)
Проинтегрируем формулу (6) по
Обозначим,(7)(8)
(7)-веса, (8)-остаточный член квадратурной формулы, интегралы в (7) легко вычисляются, как интегралы от полиномов. Рассмотрим некоторые частные случаи.
n=0 Нужна одна точка (узел) .Еслииспользуя формулы (5) и (7), получим формулу прямоугольников типа 1) из примера 1. Заметим, что исследование остаточного члена в виде (8) не совсем удобно, так как необходимо уточнить точку, которая определяется в соответствии с теоремой о среднем. Будем оценивать остаточный член по модулю:, (9) где.
Пример. Получить оценку остаточного члена для формулы прямоугольников.
Самостоятельно.Перейдем к выводу квадратурной формулы порядка 1.
n=1Узлы: . Согласно формулам (5), имеем
По формуле (7)
–формула трапеций(10)
Площадь под кривой y=f(x) приближается с помощью формулы - площадь трапеции.Геометрическая иллюстрация.
Оценим остаточный член формулы трапеций:
(11)
Формулы Ньютона-Котеса.
Для повышения точности формулы трапеций введем на более густую равномерную сетку с шагомh: ,,.Используя полученное разбиение, запишеми применим на каждом отрезкеформулу трапеций (10), (12) где, согласно (11).
Формула (12) носит название обобщенной формулы трапеций
Определение.Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами носят название формул Ньютона-Котеса порядка n с (N+1) узлами, где n- порядок интерполяции.
(12) – формула Ньютона-Котеса порядка n=1 c (N+1) узлами.
Определение.Говорят, что данная квадратурная формула имеет алгебраическую точность , еслидля многочлена степени меньшей или равнойформула трапеций (10)-точна для многочлена, то есть, имеет алгебраическую точность 1.
18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
Рассмотрим общую задачу численного интегрирования с весовой функцией . При построении квадратурных формул интерполяционного типа необходимо ввести дополнительно условие на весовую функцию:(1) Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов:
. (2)
При построении квадратурных формул Ньютона-Котеса узлы распределялись равномерно по отрезку [a,b]. Очевидно, что такой способ выбора узлов становится невозможным для несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Возникает вопрос: как выбрать систему узлов квадратурной формулы, чтобы формула (2) имела наивысшую возможную алгебраическую степень точности?
Напомним, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности , если она точна для многочленов степени меньшей или равной.
Заметим, что формула (2) содержит всего 2n неизвестных параметров (n узлов и n весовых коэффициентов). Столько же коэффициентов содержит и произвольный многочлен степени 2n-1.
Таким образом, наивысшая алгебраическая степень точности формулы (2) не может быть больше 2n-1.