37-39.Методы Рунге-Кутта.

Методы Рунге-Кутта - это группа итерационных методов решения задачи Коши (4), характеризуемая следующими условиями: 1)Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точкуиспользуется лишь информация о предыдущей точке. Этому условию соответствует такая общая запись итерационной процедуры, (17) гдевыражается через значения функциив точкеили близким к ней (сдвинутым на долю шага). 2. Процедура (16) согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка, гдеp -порядок метода. 3. Метод не использует производных от , а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка. Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутта, имеющий наименьший первый порядок точности. Рассмотрим один из примеров повышения порядка точности метода Рунге-Кутта (16) до второго порядка. Представимв виде следующей линейной комбинации. Разложим функциюв точкев ряд Тейлора до членов первого порядка включительно

. Подставляя эти формулы в (16) , получим:

. (18) (все входящие в правую часть функции берутся в точке ) Аналогичное разложение по Тейлору напишем для функции, используя уравнение. (19) Требуя совпадения коэффициентов разложений (18) и (19) при одинаковых степеняхh, получим систему уравнений для неизвестных коэффициентов :

(20)

Система (20) недоопределена. Поэтому один из коэффициентов можно задать произвольно. Например, положим . Решая (20), получим

. Итерационная процедура (17) приобретает вид

. (21)

Учитывая результат теоремы 2, заключаем, что точность этого метода , т.е. данный метод - второго порядка.

Рассмотрим некоторые частные случаи процедуры (21).

Отбрасывая погрешность, получаем

. (22)

Полученный метод Рунге-Кутта носит название “предиктор-корректор”. Чтобы прояснить смысл этого названия разобьем процедуру (22) на два этапа:

На первом этапе “предсказываем” значение по методу Эйлера. На втором этапе это значение корректируется путем усреднения угловых коэффициентов в точкахи. За счет коррекции, точность данного метода и повышается на порядок по сравнению с методом Эйлера.

Согласно (21) , получаем

. (23)

Обозначим

.

Тогда (23) разбивается на два этапа:

На первом этапе находим - прогнозируемое значение на половинном шаге от точкипо методу Эйлера.

Вычисляем наклон интегральной кривой в точке , и на втором этапе, двигаясь по касательной с данным угловым коэффициентом из точки () в точку (), получаем окончательноПолученный метод носит название “модифицированный метод Эйлера”.

Замечание 1.

Существуют процедуры Рунге-Кутта повышенной точности (порядка 3, 4, 5…). Например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности (наиболее употребляемый на практике) сформулирован следующим образом

где

(24)

Если , то погрешность процедуры.

Замечание 2.

При практическом применении методов Рунге-Кутта возникает вопрос: какой формулой пользоваться на практике? Если априори известно, что - достаточно гладкая функция, например,, то наиболее эффективна процедура (24). Если же гладкость функциинедостаточна, то лучше использовать методы второго и третьего порядка.

Замечание 3.

В среде МАТЛАБ реализованы две процедуры Рунге-Кутта:

ode23 – метод второго и третьего порядка

и ode45 - метод четвертого и пятого порядка.

В лабораторной работе 7 предусмотрено знакомство с этими командами.