- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
Пример 1.Множество всех функций, заданных на отрезке [a, b] и имеющих на нем непрерывные производные до k -го порядка включительно, называется классом .
Пример 2.При k=0 получаем класс - множество непрерывных на отрезке [a, b] функций. Если на ввести норму по формуле
, (2)
то получим линейное нормированное пространство C[a,b] (операции сложения и умножения на число вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x), ).
Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются. В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.
Замечания.Норму в классе можно ввести не единственным образом.
Например,. (3)
Сходимость последовательности по норме (2) – это равномерная сходимость, т.е. последовательностьсходится кf - это то же самое, что
- это равномерная сходимость.
Пространство C[a,b] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.
Пример 3.Множество всех функций, p-я степень модуля которых интегрируема на отрезке [a, b], называется линейным нормированным пространством , если на нем введена норма по формуле. (4)
Сходимость по норме (4) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).
Замечание.Пусть , тогда.
,
.
Отсюда следует, что из сходимости последовательности по норме C следует ее сходимость по норме , но не наоборот.
Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
Задана функция y(x), некоторый класс функций X и некоторая норма, или метрика.
Найти функцию , такую что.
Чаще всего используются нормы и, такие что
, (равномерное приближение)
. (среднеквадратичное приближение)
Задача приближения полиномами.
Пусть класс X состоит из функций вида ,
где - заданная последовательность функций.
Например, при получаем задачу приближения алгебраическими полиномами. Приили- тригонометрическими полиномами и т.п.
Тригонометрическими функциями приближаем, когда строим ряды Фурье.
Интерполяция.
Общая задача интерполяции.Пусть f(x) – определена на [a,b] и принадлежит некоторому классу.Задана сетка узловa x0 < x1 <…< xn b.
Требуется построить функцию,линейную относительно функций k(x) и такую, что выполняется условие, (1)
причем, система {k(x)}k=0, …, n линейно независима.Выбор системы {k(x)} определяется классом функций f(x).Частный случай – интерполяция многочленами:
{k(x)} = {xk}, k = 0, 1, …, n
Пусть Ln(x) – искомый интерполяционный многочлен n-ой степени.Должно выполняться условие:.(2)Определитель системы (2) называется определителем Вандермонда..
Замечание 1.Система (2) плохо обусловлена, в связи с чем, ее численное решение затруднительно. Понятие плохой обусловленности будет подробно рассмотрено в лекции 11.
Поэтому интерполяционный полином находят другим способом.
Найдем частные полиномы , обладающие свойством.
В качестве таких полиномов можно взять
.
Тогда полином , обладающий свойством, можно записать в виде(3)Очевидно, - полиномn-го порядка, или n-ой степени. Полученный таким способом полином называют интерполяционным полиномом Лагранжа.
Подведем некоторые итоги. Итак, поставленная задача интерполяции функции y(x) на сетке узлов алгебраическим полиномомn-ой степени решается с помощью интерполяционного полинома Лагранжа (3).
Теорема 1.Полином - единственное решение задачи (2).
Пусть существует другой полином такой, что.
Поскольку иполиномы степениn, то -- полином степени, причем в узлах интерполяции разность
Но полином степени не может иметь(n+1) корней, следовательно,
=- единственный полином Лагранжа.
Существуют и другие формы представления помимо (3).
Рассмотрим погрешность аппроксимации функции y(x) с помощью полинома .
Теорема 2.Пусть функция ,, (максимум существует, т.к.(n+1)–я производная непрерывна, следовательно, максимум достигается на отрезке [a,b]). Пусть задана сетка узлов ,- интерполяционный полином Лагранжа. Тогда для погрешности интерполяции справедливы оценки:, (4)
, (5) где - специальный полином (n+1)-ой степени. (6)
Запишем y(x) в виде:, (*)где- погрешность интерполяции в точкеx[a,b]. Очевидно, что,i=0, 1,…, n (7)
С учетом (7) можно искать в виде.Зафиксируем,
Рассмотрим функцию. (8)Очевидно,обращается в 0 в(n+2) -х точках t=x:(см. (*))
:,(см. (6)) i=0,1,2…n
По теореме Ролля на интервале (a,b) существует, по крайней мере, (n+1) точка, в которой обращается в 0.
По теореме Ролля на интервале (a,b) существует, по крайней мере, n точек, которых .
И так далее…Существует, по крайней мере, одна точка такая, что.
Учитывая, что,
и дифференцируя (n+1) раз формулу (8) по t в точке получим,
.
Поэтому .
Отсюда следуют (4) и (5).
Пример 1.
Пусть , [a,b] - отрезок [100,144].
Построить интерполяционный многочлен второго порядка L2(x) в узлах
, ,.
Оценить погрешность интерполяции в т. x=116 и на всем отрезке [a,b].
,
,
,
.