29BРешения и ответы к главе 2

1. Легко видеть, что коэффициенты ряда a =

1

,

n(n +3)

n

∞

1

подстановке x =1 получаем ряд ∑

, сходимость которого следу-

n(n +3)

n=1

∞

1

1

1

ет из первого признака сравнения с рядом ∑

:

≤

, а при

2

n(n +3)

2

n=1

n

n

∞

(−1)

n

подстановке x = −1 − знакочередующийся ряд ∑

,

сходимость

n(n +

3)

n=1

которого следует из сходимости ряда из модулей. Поэтому областью

сходимости исходного ряда является отрезок

[

]

−1;1 .

2.

Последовательно

находим

a

=(n +1)3 ,

a =(n +2)3 ,

n

n

R = lim

an

= lim

(n +1)3

=1. Поэтому ряд сходится на интервале (−1;1).

an+1

(n +2)3

n→∞

n→∞

Заметим теперь, что при подстановке

x = ±1 получаем ряды (положи-

тельный и

знакопеременный соответственно) с

a =(n +1)3 , и

n

lim a

= lim(n +1)3 = ∞ ≠ 0

. Таким образом,

необходимый признак схо-

n→∞

n

n→∞

3.

Применим замену t = x +6 и находим радиус сходимости ряда

∞

n

n

n

(n +n+21

)! =

∑

3 t

:

R

= lim

an

= lim

3

1 lim (n + 2)= ∞.

Поэтому

(n +

1)!

an+1

(n +

1)!

n=0

n→∞

n→∞

3

3 n→∞

исходный ряд сходится всюду.

∞

n

4.

Ряд можно переписать в виде ∑

(x −1)3n . Если сделать

n−1

(2n −1)

n=1 2

∞

n

замену t =(x −1)3 , то исходный ряд запишется в виде ∑

tn , и

n−1

(2n −1)

n=1 2

его

радиус

сходимости

равен

R = lim

2n n (2n +1)

=

2n−1 (2n

−1)

n +1

n→∞

= 2 lim

n

2n +1 = 2 . Его интервалом сходимости является промежу-

n +1

n→∞

2n −1

∞

2 n

ток (−2;2). При t = 2 ряд приобретает вид ∑

и является расходя-

2n −1

n=1

∞

1

рядом ∑

. При t = −2

ряд становится знакочередующимся и имеет

n

n=1

∞

(−1)

n

2

n . Так как последовательность an

2 n

вид ∑

=

монотонно

2n −1

n=1

(2n −1)

убывает при n ≥1 и стремится к нулю,

то по признаку Лейбница ряд

∞

n

сходится. Итак,

областью сходимости суммы ∑

tn

является

n−1

(2n −1)

[−2;2). Переходя

n=1 2

множество

к

исходному

ряду,

получим

−2 ≤(x −1)3 < 2 ,

−3 2 ≤ x −1 < 3 2 ,

т.е.

1− 3 2 ≤ x <1+ 3 2 .

Итак,

3

2;1+

3

2 ) − область сходимости исходного ряда.

1−

5.

Если

f (x)=(1+ x)α ,

то

f ′(x)=α(1+ x)α−1 ,

f ′′(x)=α(α −1)(1+ x)α−2 ,

f ′′′(x)=α(α −1)(α −2)(1+ x)α−3 ,

…,

f (n)

(x)=α(α −1)(α −2)K(α −n +1)(1+ x)α−n .

Полагая

x = 0 ,

находим

f ′(0)=α,

f ′′(0)=α(α −1),

f ′′′(0)=α(α −1)(α −2),

…,

α

α(α−1)

α(α−1)(α−2)

α(α−1)K(α−n+1)

(1+x) =1+αx+

x2 +

x3 +K+

xn +K,

2!

3!

n!

причем a

=

α (α −1)K(α −n +1)

.

Для нахождения радиуса сходимости

n

n!

α (α −1)K(α −n +1)(n +1)!

вычислим

R = lim

an

= lim

= lim

n +1

=1.

a

α −n

n→∞

n→∞

α (α −1)K(α −n)n!

n→∞

n+1

1

6. Проинтегрируем ряд

=1−t +t2 −t3

+K+(−1)n tn +K в пре-

1+t

x

делах от 0 до x . С одной стороны, ∫x

dt

= ln (1+t )

= ln (1+ x). С другой

0 1+t

0

∫x (1−t +t2 −t3 +K+(−1)n tn +K)dt = t

− t2 + t3

− t4 K+(−1)n

tn+1

+K

x

=

n +1

0

2

3

4

0

x2

x3

x4

K+(−1)n

xn+1

= x −

+

−

+K.

n +1

2

3

4

Итак,

ln (1+ x)= x −

x2

+

x3

−

x4

K+(−1)n

xn+1

+K, или,

выделив

n +1

2

3

4

xn

(n −1)-ый член ряда, ln (1+ x)= x −

x2

+

x3

−

x4

K+(−1)n−1

+K. Под-

2

3

4

n

ставляя в сумму геометрической прогрессии t = u2

и интегрируя в пре-

делах от 0 до x , аналогично получим

arctg x = x −

x3

+

x5

−

x7

K+(−1)n

x2n+1

+K.

3

5

7

2n +1

9x

2

27x

3

81x

4

243x

5

∞

n+1

x

n+1

ln(1+3x) =3x −

+

−

+

−... = ∑(−1)n

3

,

2

3

4

5

n=0

n +1

9x

2

− 27x

3

− 81x

4

− 243x

5

∞

n+1

x

n+1

ln(1−3x) = −3x −

−... = −∑

3

.

2

3

4

5

n=0

n +1

f (x)= ln 1+3x

54x

3

486x

5

∞

2n+1

x

2n+1

Поэтому

= 6x +

+

−... = 2∑3

. Для

1−3x

3

5

n=0

2n +1

нахождения

радиуса

сходимости

перепишем

последний

ряд в

виде

∞

2n+1

x

2n+1

∞

2n+1

x

2n

2∑3

1

= 2x∑

3

и сделаем замену t = x2 . Тогда сумма запи-

n=0

2n +

n=0

2n +1

∞

2n+1

x

2n

∞

2n+1

t

n

2n+1

шется в виде ∑

3

= ∑

3

с an =

3

, а радиус сходимости

2n +1

2n +1

2n +1

n=0

n=0

нового ряда R = lim

an

= lim

32n+1 (2n +3)

=

1 . Так как t = x2 ,

то радиус

32n+3 (2n +1)

t

n→∞

a

n→∞

9

n+1

= 1 .

сходимости исходного ряда равен R

Поскольку sin2 x = 1−cos 2x

3

8.

, то для решения задачи используем

табличное разложение 3:

2

(2x)2

(2x)4

(2x)6

∞

n (

2x)2n

∞

n

22n

2n

cos 2x =1−

2!

+

4!

−

6!

+K= ∑(−1)

(2n)!

= ∑(−1)

x

.

n=0

n=0

(2n)!

Поэтому

sin2 x =

1

2

2

x

2

2

4

x

4

− 2

6

x

6

1−

1−

+

+K

=

2

2!

4!

6!

2x

2

− 8x

4

32x

6

∞

2n−1

x

2n

=

+

+K= ∑(−1)n−1 2

.

2!

4!

6!

n=1

(2n)!

Для нахождения радиуса сходимости сделаем замену t = x2 ,

и ряд

∞

2n−1

t

n

2

2n−1

запишется в виде ∑(−1)n−1 2

с an

=

. Тогда радиус сходимо-

(2n)!

n=1

(2n)!

сти нового ряда R = lim

an

= lim

22n−1 (

2n +2)!

= lim (2n +1)(2n + 2) = ∞

t

n→∞

an+1

n→∞

22n+1 (2n)!

n→∞

4

и исходный ряд сходится для любого x .

9.

Преобразуем исходную функцию к виду

1

=

1

=

3

1 + x2 9

9 + x2

1

= 1

x

2

−

и применим табличное разложение 8 для α = −1

+

2

1