8BСТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

a0 +a1 (x − x0 )+a2 (x − x0 )2 +a3 (x − x0 )3

∞

(x − x0 )n

(9)

+... = ∑an

n=0

называется степенным рядом с центром

в точке

x0 , а

числа

при подстановке которых соответствующий числовой ряд

сходится.

Очевидно, при x = x0 ряд (9) сходится, поэтому область сходимости

степенного ряда не пуста.

С помощью замены t = x − x0 и обратного переименования t в x

этот ряд можно преобразовать в степенной ряд вида

∞

(10)

a0 +a1x +a2 x2 +a3 x3 +... = ∑an xn

мости находится по формуле R = lim

an

.

an+1

n→∞

Решение. Так как коэффициенты ряда a

=

1

,

a

n+1

=

1

, то

n

n

n +1

радиус сходимости R = lim

an

= lim

n +1 =1.

Поэтому исходный ряд

a

n→∞

n→∞

n

n+1

сходится на интервале (−1;

1).

При подстановке граничной точки

x =1

∞

1

получаем расходящийся обобщенный гармонический ряд ∑

,

а при

(−1)

n

n=1

n

∞

подстановке x = −1 − знакочередующийся ряд

,

который схо-

∑

n=1

n

)

дится по признаку Лейбница. Поэтому множество

[

является обла-

−1;1

Решение.

Так

как

a

=

1

,

a

=

1

, то радиус сходимо-

(n +1)2

n

n2

n+1

сти R = lim

a

n

n +1

2

= lim

=1. Поэтому исходный ряд сходится на

a

n

n→∞

n→∞

n+1

интервале (

−1;1). При подстановке

граничной

точки x =1 получаем

∞

1

обобщенный гармонический ряд ∑

, который сходится. При подста-

2

n=1 n

∞

(−12)

n

новке x = −1 имеем знакочередующийся ряд ∑

, сходимость кото-

n=1

n

∑n=1

n2

[

]

дулей

∞

1

. Поэтому отрезок

−1;1

является областью сходимости ис-

ходного ряда.

Упражнение 1. Найти область сходимости степенного ряда

x

+

x2

+

x3

+K.

1 4

2

5

3 6

Упражнение 2. Найти область сходимости степенного ряда

1+8x + 27x2 +... +(n +1)3 xn +...

∞

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда ∑n!xn .

n=1

Решение.

Коэффициенты ряда an = n!,

an+1 =(n +1)!. Тогда ради-

an

n!

1

ус сходимости

R = lim

= lim

= lim

=

0 . Значит, ряд схо-

(n +

1)!

n→∞

a

n→∞

n→∞ n +1

дится лишь в точке x =

n+1

0 .

Рассмотрим теперь примеры рядов, центром которых является точка

x0 ≠ 0. В таких случаях делают замену t = x − x0 ,

смещая центр ряда в

ноль, а для окончательного ответа − обратный переход: x =t + x0 .

∞

(x −4)

n

Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда ∑

n

n=1

n +5 3

∞

t

n

Решение.

Применив замену t = x −4 ,

получаем ряд ∑

.

n +5

n

Теперь находим радиус его сходимости

n=1

3

R = lim

an

= lim

n +5

3n+1

= 3lim

n +5

= 3,

an+1

3n

n→∞

n→∞

n +6

n→∞

n +6

∞

1

t = 3 получаем расходящийся ряд ∑

, а при t = −3 − знакочере-

n +5

(−1)

n=0

∞

n

дующийся ряд ∑

, который сходится по признаку Лейбница. Та-

n +

5

n=0

ким образом,

[−3;3) − область сходимости ряда с нулевым центром, а

[

4

−3;4 +3

)

[

)

− область сходимости исходного ряда.

= 1;7

Пример 5.

Найти

область

сходимости

степенного

ряда

∞

(−2)

n

(x + 2)

n

∑

.

3 3n −1

n=1

Решение.

∞

(−1)

n

2

n

tn

Сделаем замену t = x + 2 , получаем ряд ∑

и находим его радиус сходимости:

n=1

3 3n −1

R = lim

a

n

= lim

3 3n + 2

2n

=

1

lim 3

3n +2

=

1

.

an+1

2n+1

3n −1

3n −1

2

n→∞

n→∞

3

2 n→∞

Поэтому ряд сходится на интервале

−

1

;

1

=

1

получаем знако-

2

2

. При t

2

∞

(−1)

n

чередующийся ряд ∑

, сходящийся по признаку Лейбница. При

n=1 3 3n −1

1

∞

1

t = −

имеем ряд ∑

, который расходится по признаку сравне-

2

3 3n −

1

n=1

1

ния

с

обобщенным

гармоническим

рядом

с α =

. Таким образом,

1

1

3

5

3

;

− область сходимости ряда с нулевым центром, а

−

;−

−

−

2

2

2

2

область сходимости исходного ряда.

Упражнение 3. Найти

область

сходимости

степенного

ряда

∞

3n (x +6)n

∑n=0

.

(n +1)!

Пример 6.

Найти

область

сходимости

степенного ряда

∞

(x +3)2n+1

∑

.

(n + 2)

2

7n

n=1

Решение. Представим ряд в виде

∞

(x +3)2n+1

∞

(x +3)2n

∑

= (x +3)∑

.

(n +2)

2

7n

(n + 2)

2

n=1

n=1

7n