где | x |<1.

Упражнение 11. Найти сумму степенного ряда x +

x2

+

x3

+

x4

+...,

2

3

4

с коэффициентами

f (n) (x

)

(14)

a =

0

, n = 0,1,2,...

n

n!

называют рядом Тейлора с центром x0 для функции f (x). Если функ-

ция f (x) разлагается в ряд по степеням

x − x0

в окрестности точки

x = x0 , то этот ряд является ее рядом Тейлора с центром

x0 . При этом

говорят, что функция

f (x) разлагается в ряд Тейлора и

f (x)= f (x

)+

f ′(x

)

(x−x )+

f ′′(x

)

(x−x )

2

f (n) (x

)

(x−x )

n

+.... (15)

0

0

+...+

0

0

1!

0

2!

0

n!

0

Пример 13. Разложить функцию f (x)=

2x −8

в ряд Тейлора с

x2

−8x +15

f (t )=

2

(

t +

2

)

−8

=

2t −4

=

1

+

1

= −

1

−

1

1

.

(t +2)2 −8(t +2)+15

t2

−4t +3

t −1

t −3

1

−t

1−t 3

3

1

∞

Теперь к каждой дроби применим табличное разложение 4:

= ∑tn ,

1

−t

1

∞

n=0

= ∑(t

3)n . Получаем

1−t 3

n=0

∞

n

1

∞

t

n

∞

1

n

∞

3n+1 +1

n

f (t )

= −∑t

−

∑

= ∑ −1

−

t

= −∑

t

.

3

n+1

n+1

n=0

n=0

3

n=0

3

n=0

3

Сделав обратную замену

t = x −2 ,

получим разложение исходной

2x −8

∞

n+1

функции в ряд Тейлора:

= −∑

3

+1

(x −2)n . Теперь нахо-

x

2

−8x +15

n+1

n=0

3

дим радиус сходимости ряда:

(

+1)

1

+

1

n+2

n+1

n+2

R = lim

3

3

=3lim

3

3

=1.

n+1

n+2

1

n→∞

+1

n→∞

3

3

(

)

1

+

n+2

3

Упражнение 12.

Разложить

функцию

f (x)= ln (x2 +8x +15)

в ряд

как ряд e

x

=1

+ x +

x2

+

x3

+

x4

+... медленно сходится при больших зна-

2!

3!

4!

чениях x ,

то аргумент показательной функции представляют в виде

причем, так как n -ый член ряда un

=

0,4n

, то

un

=

0,4n (n −1)!

=

0,4 и

n!

un−1

0, 4un−1

0,4n−1 n!

n

un

=

. Последняя формула удобна для вычисления

n -го члена.

n

u = 0, 4 u

0, 4 u = 0,08,

Последовательно находим: u =1,

0

= 0, 4 , u

2

=

0

1

1

2

1

0, 4 u

= 0, 4 u

= 0, 4 u

u

3

=

2

= 0,010667 ,

u

4

= 0,001067

,

u

4

= 0,000085 ,

3

4

3

5

5

u

6

=

0, 4 u

= 0,000006 ,

и

частичная

сумма

ряда

дает

приближение

6

5

5

e0,4 ≈ ∑un

=1, 491825. Окончательно получаем e3,4

= e3 e0,4 ≈ 29,9641.

димости. В силу этого наряду с

разложениями

для

ln(1+ x) и

ln(1− x)

используют

их

разность

для

разложения

функции

3

5

ln

1+ x = 2 x +

x

+

x

−... , где

x

<1. Последний ряд сходится гораздо

1− x

3

5

быстрее.

Для

применения

последнего

разложения

преобразуем

ln 4 = ln e

4

=1

+ln

4 .

Теперь

найдем такое

x ,

что

1+ x =

4 , т.е.

e

e

1− x

e

x = 4 −e

≈ 0,190781.

Поскольку n -й

член

ряда

для

ln 1+ x

равен

4 +e

un

(

)

(

)

1− x

)

x

x2n+1

x2

2n

x2

(

2n

un = 2

2n+1

2n −1

−1

, то un

−1

un−1 .

и

=

=

=

2n +1

un−1

x2n−1 (2n +1)

(2n +1)

(2n +1)

Последовательно

находим

u

0

= 2x = 0,381562 ,

u =u

x2

= 0,004629,

3

3x2

5x2

1

0

u

2

=u

= 0,000101,

u =u

2

= 0,000014 .

Суммируя

найденные

1

5

3

7

члены ряда, получим ln 4 ≈1,3863.

Пример 16. Вычислить приближенно sin

π

с точностью до 0,0001.

3

для

0 ≤ x ≤

π .

В

данной

задаче

можно

воспользоваться

тем,

что

sin π

= cos π

4

мы будем вычислять значение cos π .

, и,

таким образом,

3

6

6

Учитывая, что π ≈ 0,523599,

x

2

x

4

x

6

∞

x

2n

cos x =1−

+

−

+K= ∑

(−1)n

(2n)!

6

2!

4!

6!

n=0

с

un

=(−1)n

x2n

,

получаем,

что

un

= −

x2n (

2n −2)!

= −

x2

и

(2n)!

(2n −1)2n

un−1

x2n−2 (2n)!

un

= −

x2

un−1

при

n ≥1.

Последовательно

находим

u0

=1,

(2n −1)2n

u = −u

x2

= −0,137078,

u

= −u

x2

= 0,003132 ,

u = −u

x2

=

1 2

3 4

5

6

1

0

2

1

3

2

= −0, 000029 . Суммируя найденные члены ряда, получим sin π

≈ 0,8660 .

3

Упражнение 13. Вычислить приближенно

1

с точностью до 0,0001.

e

Упражнение

14.

ln 22

Вычислить

приближенно

с

точностью

до

0,0001.

Вычислить приближенно arctg 1

Упражнение 15.

с точностью до

0,0001.

3

Пример 17. Вычислить приближенно 4 18 с точностью до 0,0001.

1

Решение.

Представим число 18

в

виде 18 =

2

4

+2 = 2

4

+

1

8

.

1

1

4

, и, согласно табличному разложению 8, нахо-

Поэтому 4 18 = 2 1+

8

дим при α =

1 ; x =

1

:

4

8

4 18 =2

1+1 4 1 −1 4 3 4

1

+1 4 3 4 7 4

1

−1 4 3 4 7 4 11 4

1

+...

=

8

2!

64

3!

512

4!

4096

= 2 +

1

− 3 8

1

+ 21 32

1

−

231 128

1

+... .

64

512

4096

16

2

6

24

n

(k )

(0)

f

(n+1)

(c)

f (x) = ∑

f

xk +

xn+1

, c (0, x).

k =0

k!

(n +1)!

1

1

1

1

ec

, c (0,1)

e = e = 2 +

+

+

+

2!

3!

4!

5!

Считая e ≈ 3 и c (0,1), получаем, что ec <

3

=

1

.

120

40

5!

Разложения функций используют также при приближенных вычис-

лениях интегралов.

1

dx

Пример 19. Вычислить интеграл I = ∫0

с точностью до 0,0001.

10 − x6

1

=

1

1

=

1

1+

x6

+

x12

+

x18

+K

=

1

+

x6

+

x12

+

x18

+K

6

6

2

10 −x

10 1−x

10

10

10

100

1000

10

3

4

10

10

10

1

1 x6