4 Приложения тройных интегралов
.doc4 Приложения тройных интегралов
4.1 Теоретическое введение
Рассмотрим приложения тройного интеграла к решению ряда геометрических задач и задач механики.
4.1.1 Вычисление площади и массы пространственного тела
Пусть в трехмерном пространстве Oxyz дано материальное тело G. Объем V этого тела может быть найден с помощью тройного интеграла по формуле:
V = dV |
(1) |
Вычислим массу m тела объема V, считая, что плотность в каждой точке тела есть заданная непрерывная функция координат точки P, т.е. γ = γ(x;y;z). Пусть в каждой точке тела G задана его объемная плотность γ = γ(x;y;z). Будем считать, что функция γ = γ(x;y;z) непрерывна в области G. Тогда масса m этого тела равна тройному интегралу от функции плотности γ = γ(x;y;z) по области G:
m = γ(x, y, z) dV |
(2) |
4.1.2 Статические моменты. Центр масс пространственного тела
Статическим моментом Mxy материальной точки массы m относительно плоскости Оху называется произведение массы точки на ее координату z: Mxy = mz. Аналогично определяются статические моменты Myz иMxz соответственно относительно плоскостей Oyz и Oxz: Myz = mx, Mxz = my. Статические моменты пространственного тела, плотность которого равна γ(x,y,z), где γ(x,y,z) – непрерывная функция, относительно плоскости Оху вычисляется по формуле:
Mxy = zγ(x, y, z) dV |
(3) |
Аналогично, для статических моментов тела G относительно плоскостей Oyz и Oxz получим:
Myz = xγ(x, y, z) dV |
(4) |
Mxz = yγ(x, y, z) dV |
(5) |
Координаты xc , yc , zc центра масс тела G определяются равенствами:
(6) |
где m – масса тела G, которую можно найти по формуле (2). Тогда из формул (3) – (6) получим:
(7) |
4.1.3 Момент инерции пространственного тела
Момент инерции Iz материальной точки массы m относительно оси Oz равен произведению массы этой точки на квадрат её расстояния до оси Oz. Так как квадрат расстояния точки P(x, y, z) до оси Oz равен x2 + y2, то Iz = (x2 + y2) · m. Аналогично определяют моменты инерции относительно осей Ох и Оу. Пусть дано тело G, плотность которого задана непрерывной функцией γ(x, y, z). Момент инерции этого тела относительно оси Oz может быть найден по формуле:
Jz = (x2 + y2) γ(x, y, z) dV |
(8) |
Аналогично находятся моменты инерции Jx и Jy :
Jx = (y2 + z2) γ(x, y, z) dV, Jy = (x2 + y2) γ(x, y, z) dV |
(9) |
4.2 Содержание типового расчета
Типовой расчет содержит две задачи. В каждой задаче задана пространственная область G, ограниченная поверхностями, указанными в условии задачи. Г(x,y,z) – объемная плотность области G. Для этой области найти: 1. V – объем; 2. m – массу; 3. Myz, Mxz, Mxy – статические моменты относительно плоскостей Оyz, Oxz и Охy соответственно; 4. xc, yc, zc – координаты центра масс; 5. Iz – момент инерции относительно оси Oz.
4.3 Порядок выполнения типового расчета
При решении каждой задачи необходимо: 1. Выполнить чертеж заданной области. Выбрать систему координат, в которой будут вычисляться тройные интегралы. 2. Записать область в виде системы неравенств в выбранной системе координат. 3. Вычислить объем V и массу m тела по формулам (1) и (2). 4. Вычислить статические моменты Myz, Mxz, Mxy по формулам (3) – (5). 5. Вычислить координаты центра масс xc, yc, zc по формулам (7). Нанести центр масс на чертеж. При этом возникает визуальный (качественный) контроль полученных результатов. 6. Вычислить Iz – момент инерции относительно оси Oz. Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.
4.4 Пример выполнения типового расчета
Задача. Пространственная область G, ограничена поверхностями z = 4 – x2 – y2, z = 0, y = 0 (y ≥ 0). Объемная плотность области G равна γ(x, y, z) = 3. Решение. Тело ограничено поверхностью параболоида и двумя координатными плоскостями. Проекцией тела на плоскость Oxy является полукруг (рис. 1). Поэтому при вычислениях удобно использовать цилиндрическую систему координат. В этой системе уравнение параболоида запишется: z = 4 – x2 – y2 <=> z = 4 – ρ2 и тело Gможно записать системой неравенств: G:
Рис. 1
Объем тела найдем по формуле (1): Найдем массу тела по формуле (2). Плотность его равна γ = 3= 3ρ. Для нахождения координат центра масс вычислим сначала статические моменты тела относительно координатных плоскостей по формулам (3) – (5): Внутренний и промежуточный интегралы здесь совпадают с соответствующими интегралами в выражении дляMxz, поэтому переходим сразу к заключительному этапу вычисления. Координаты центра масс найдем по формулам (6) – (7): Момент инерции тела относительно оси Oz найдем по формуле (8): Jz Ответ: V = 4π ≈ 12,57; Mxz = 32; Myz = 0; xc = 0; yc = zc = Jz =
4.5 Оформление отчета
В отчете должны быть представлены все выполненные расчеты, аккуратно выполненные чертежи. Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.