7.5. Модели формирования инвестиционного портфеля

1. Модель Марковица

М

На основе этой информации, как показал Марковец, можно определить значение дохода и риска по каждому варианту инвестиционного портфеля и определить набор «эффективных портфелей». Марковиц доказал, что все эффективные портфели должны лежать на кривой ЕF (см. рис. 7) которую обычно называют эффективной границей Марковица.

одель Марковица -это модель формирования оптимального инвестиционного портфеля, в котором ожидаемая инвестором доходность сочеталась бы с минимально возможным для него риском. Марковиц пришел к выводу, что для снижения уровня риска инвесторы будут прибегать к диверсификации ценных бумаг в инвестиционном портфеле. Однако, эффект от диверсификации может быть достигнут только в том случае, если портфель составлен из ценных бумаг, доходность которых имеет тенденцию изменяться в различных направлениях (отрицательная ковариация).Для практического использования модели Марковица необходимо определить для каждой ценной бумаги ожидаемую доходность Ri, ее стандартное отклонение σi и ковариацию между ценными бумагами σij.

.

доход

Эффективные портфели

F

Е2

Е1

Е

R1R2

риск

Рис. 7. Эффективные портфели

Марковец ограничивает решение модели тем, что из всего множества портфелей, удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые содержат при одинаковом доходе больший риск (дисперсию) или портфели, которые приносят меньший доход при одинаковом уровне риска.

Портфель является эффективным, если для заданного дохода, например Е1 , портфель содержит меньший риск (R1) по сравнению с другими портфелями, приносящими такой же доход (Е1), или при определенном риске (R2) приносит более высокий доход (Е2) по сравнению с другими комбинациями с (R2). Модель Марковица определяет набор эффективных портфелей, но не дает возможности выбрать из них оптимальный портфель, который будет индивидуальным для разных инвесторов: консервативные инвесторы выбирают те портфели, которые лежат в нижней части кривой (небольшой доход, зато низкий риск), агрессивные инвесторы - те, что лежат в верхней части кривой (высокий доход, высокий риск).

7.5.2. Модель Шарпа

Модель Шарпа в отличие от модели Марковица требует меньше информации и вычислений. Шарп пришел к выводу, что доходность каждой отдельной акции строго коррелирует с общей доходностью рынка, поэтому нет необходимости определять ковариацию каждой акции друг с другом, достаточно определить, как они взаимодействуют с рынком.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую (Х) и зависимую (У) линейным выражением У = α + β·Х. В модели Шарпа независимой считается ожидаемая доходность на фондовом рынке в целом (доходность рыночного портфеля) Rm, вычисленная на основе индекса компании Standart and Poor’s. В качестве зависимой переменной берется доходность Ri какой-нибудь ценной бумаги. Пусть доходность Rm принимает случайные значения Rm1; Rm2…. Rmn, а доходность i-той ценной бумаги значения Ri1; Ri2…. Rin. Тогда линейная регрессионная модель, представляющая взаимосвязь между доходностью рынка и доходностью по конкретной ценной бумаге будет иметь вид:

Ri = αi + βi Rm + εi,

где Ri – доходность i-той ценной бумаги в определенный момент времени (например, 25 июня 2003 года);

αi - это параметр, показывающий какая часть доходности i-той ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг Rm;

βi – коэффициент, показывающий чувствительность доходности i-той ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

Rm – доходность рыночного портфеля в данный момент времени;

εi - случайная ошибка, связанная с тем, что действительные значения Ri и Rm иногда отклоняются от линейной зависимости. Для упрощения расчетов ее можно принять равной 0.

βi - коэффициент «бета» - измеритель риска вложений, реакция (чувствительность) ожидаемого дохода по ценной бумаге на изменение внешних факторов;

Значение βi можно посчитать по следующим формулам:

βi = σi,βi = ρi,m·σi,

σm² σm

где σi - среднеквадратичное отклонение доходности i-той ценной бумаги;

σm-среднеквадратичное отклонение доходности по рынку в целом;

ρim–коэффициент корреляции доходности i-той ценной бумаги и по рынку в целом.

Предполагая, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, Шарп вводит следующие предварительные условия:

• среднеарифметическая величина случайных ошибок Еε для всех ценных бумаг портфеля равна 0;

• дисперсия случайных ошибок σε² для каждой ценной бумаги постоянна.

• для каждой ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T лет величинами случайных ошибок;

• отсутствует корреляция между случайными ошибками εiи рыночной доходностью;

• отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

На основе этих упрощений Шарп, для любых ценных бумаг в портфеле, получает следующие выражения:

Еi = αi + βi Em ,

σi² = βi² · σm² + σεi² ,

σij = βi² βj² · σm² ,

где Еi - ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i;

Еm - ожидаемая среднеарифметическая доходность рыночного портфеля;

σi²-дисперсия i-той ценной бумаги;

σm² - дисперсия рыночного портфеля;

σεi²- дисперсия случайной ошибки;

σij(covij) - ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

βiи βj–чувствительность доходностиi-той и j-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности.

Таким образом, для построения границы эффективных портфелей есть все необходимые элементы: Еi;σi²; σij.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

n

Еп= ∑ Хi Еi

i=1

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

n+1

σn² = ∑ Хi² σεi² ,

i=1

n

σεi² = ∑ (Rit - (αi + βi Rmt)) ² / (n-2)

t=1

Вопросы для самопроверки

1. Что такое портфель ценных бумаг?

2. Дайте характеристику различным типам инвестиционных портфелей.

3. Дайте характеристику агрессивному, консервативному и умеренно-агрессивному инвестору.

4. Что понимается под активным и пассивным управлением инвестиционным портфелем?

5. Что такое диверсификация инвестиционного портфеля?

6. Как определить доходность и риск инвестиционного портфеля?

7. Что означает положительная и отрицательная ковариация между величинами доходности по ценным бумагам?

8. Что характеризует коэффициент корреляции?

9. Что такое эффективная граница Марковица?

10. Как рассчитывается доходность ценных бумаг компании и β – коэффициент в модели Шарпа?

Тестовые задания

1. Дайте характеристику инвестиционному портфелю агрессивного роста:

а) является наименее рискованным портфелем;

б) нацелен на максимальный прирост капитала;

в) состоит из акций крупных, хорошо известных компаний, характеризующихся невысокими, но устойчивыми темпами роста их курсовой стоимости;

г) состав портфеля остается стабильным в течении длительного времени;

д) в состав портфеля входят акции молодых, быстрорастущих компаний;

е) задача портфеля – сохранение капитала;

ж) характеризуется высоким инвестиционным риском;

з) в состав портфеля входят и надежные ценные бумаги, приобретаемые на длительный срок, и рискованные ценные бумаги, состав которых периодически обновляется.