Постановка задачи
В спортзале «Качок» работают 4 тренера. Часы работы: с 9:00 до 21:00 без обеда и выходных. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 90 минут (1,5 часа), то есть в час в среднем у одного тренера обслуживается 2/3 клиента (примерно 1). В день (12 рабочих часов) обслуживается в среднем 30 клиентов. Потери, связанные с ожиданием человека в очереди, составляют 30 руб/час, потери за простой тренера – 600 руб/час, потери за эксплуатацию оборудования – 120 руб/час.
Требуется проанализировать эффективность работы спортзала «Качок».
Математическая модель
На систему массового обслуживания, состоящую из 4-х приборов, поступает случайный поток требований на обслуживание интенсивностью α =5/2 чел/час. Время обслуживания каждого требования случайное с интенсивностью обслуживания 2/3 чел/час. Интервал времени между поступлениями соседних требований является случайной величиной ξ, образующей пуассоновский процесс
P{ξ
= K}
= Vk(t)
=
,
где Vk(t) – вероятность того, что за время t в СМО поступит ровно К требований,
α – среднее число требований, поступивших в СМО в единицу времени, α = 2,5.
Если требование, поступившее в систему, застаёт все приборы занятыми, то оно встаёт в очередь и ждёт до тех пор, пока прибор не освободится. Время обслуживания требования любым прибором является случайной величиной η, удовлетворяющей экспоненциальному закону распределения:
F(t) = P{η < t} = 1 – exp(-β*t),
где
β =
,tср
– среднее время обслуживания требования,
β=2/3.
В
каждый момент времени t
любой
прибор может обслуживать не более одного
требования. Обслуженное
требование покидает систему массового
обслуживания. Предполагается,
что все случайные потоки событий –
простейшие. Требуется проанализировать
данную систему массового обслуживания.
Обозначим через Рк(t) – вероятность того, что в момент времени t в системе находится ровно К требований.
Пусть в начальный момент времени система была свободна, т.е. Р0(0)=1, Рк(0)=0, К=1,2,3…
Для проведения анализа вычисляем следующие показатели:
1) Р0 – вероятность того, что все приборы свободны:
2) Рk – вероятность того, что из n приборов занято обслуживанием k приборов (т.е. в системе находится k заявок):
=1,
2, …, n-1;
3)
П – вероятность того, что все приборы
системы заняты (
≥n):
4) Pn+s – вероятность того, что все приборы заняты обслуживанием и s заявок в очереди:
s=0,
1,…
5) Среднее время, в течение которого требование ждет начала обслуживания:
6) Вероятность того, что время ожидания в очереди больше заданного времени t=t0:
t0=tож;
7) А – средняя длина очереди:
или
8) В – среднее число требований, находящихся в системе:
или
9)
- среднее число свободных приборов:
;
10)
- среднее число приборов, занятых
обслуживанием:
;
11) R – среднее число обслуживаемых требований:
;
12) Кn – коэффициент простоя приборов:
;
13) Кз – коэффициент загрузки приборов:
;
14) Gэ – суммарные потери за отчетный период (Т):
,
q1 – стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди, в единицу времени; q1 =30 руб/час
q2 – стоимость потерь за простой обслуживающего устройства в единицу времени; q2 =600 руб/час
q3 – стоимость эксплуатации прибора при обслуживании требований в единицу времени; q3 =120 руб/час.