lec7 ГРАФИКИ
.pdf
Схема исследования на выпуклость
Шаг 1. Находим вторую производную функции.
Шаг 2. Определяем точки, в которых вторая производная
равна нулю или не существует.
Шаг 3. Определяем знак второй производной в каждом из
интервалов. Находим точки перегиба.
Шаг 4. Находим значение функции в точках перегиба.
|
|
+ |
– |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перегиб |
перегиб |
|||
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
21
7-4.
Асимптоты графика функций
Вертикальные асимптоты Горизонтальные асимптоты Наклонные асимптоты
23 сентября 2007 г.
Асимптота графика функции
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая
тем свойством, что расстояние между этой прямой и графиком
функции стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Горизонтальная асимптота |
Вертикальная асимптота |
Наклонная асимптота |
||||||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
23
Вертикальная асимптота
График функции y = f (x) при x → a
имеет вертикальную асимптоту,
если |
lim |
f (x) = +∞ |
|
||
|
x→a+0 |
f (x) = −∞ |
и(или) lim |
||
|
x→a−0 |
|
При этом точка x = a есть точка разрыва. Уравнение вертикальной
асимптоты имеет вид:
x = a
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
24
Горизонтальная асимптота
График функции y = f (x) при x → +∞
или x → –∞ имеет горизонтальную асимптоту, если существует и
конечен хотя бы один из пределов:
lim |
f (x) = b |
x→−∞ |
f (x) = b |
и (или) lim |
|
x→+∞ |
|
Уравнение горизонтальной асимптоты
имеет вид:
y = b
Различают левостороннюю, правостороннюю и двустороннюю горизонтальные асимптоты.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
25
Наклонная асимптота
Наклонной асимптотой графика
функции называется прямая,
задаваемая уравнением
y = kx +b
Для ее существования необходимо,
чтобы существовали конечные |
|||
пределы: |
f (x) |
= k |
|
lim |
|||
x |
|||
x→±∞ |
|
||
lim [f (x) −kx]= b
x→±∞
Различают левостороннюю, правостороннюю и двустороннюю наклонные асимптоты.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
26
Схема отыскания асимптот
1.Вертикальные асимптоты. Если в точке разрыва функции
или граничной точке области определения хотя бы один
односторонний предел бесконечен, то в этой точке есть вертикальная асимптота.
2.Горизонтальные асимптоты. Если предел функции в ±∞
конечен, то получаем уравнение горизонтальной асимптоты.
3. Наклонные асимптоты. Если в в ±∞ конечного предела нет, то ищем пределы для наклонной асимптоты. Если
соответствующие пределы конечны, то получаем уравнение
наклонной асимптоты.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
27
7-5.
Построение графиков
Примеры построения графиков
23 сентября 2007 г.
Первый пример
Исследовать функцию |
y = |
x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
||
|
|
|
|
|
Решение. 1. ОДЗ
x (−∞;3) (3;+∞)
2. Функция общего вида (не является четной, нечетной)
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
29
Решение
y = x2 x −3
3. Поведение функции вблизи точки разрыва и в бесконечности:
lim |
|
|
x2 |
|
|
|
= −∞ |
lim |
|
|
x2 |
|
|
|
= +∞ |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||||||
x→−∞ x |
|
|
x→+∞ x |
|
|
||||||||||
lim |
|
x2 |
|
|
|
= ∞ |
lim |
|
x2 |
|
|
|
= +∞ |
||
x→3−α x − |
3 |
|
x→3+α x − |
3 |
|
||||||||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
30